Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
F=[2 x, 5 y, 0], S: r=[u, v, 4 u+3 v], 0 <= u <= 1,-8 <= v <= 8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo) da campo vetorial vec F=[2x,5y,0] sobre a superfície S dada pela parametrização vec r(u,v)=[u,v,4u+3v], com 0<= u<=1 e -8<= v<=8. Vamos usar definição de fluxo via parâmetro e produto vetorial.

Passo 2

A superfície S é um pedaço do plano definido por z=4x+3y. Como é dada por uma parametrização linear em u e v, trata-se de uma superfície planar.
Calculemos os vetores tangentes:
vec ru=partialvec rpartial u=(1,0,4),vec rv=partialvec rpartial v=(0,1,3)
O produto vetorial vec rutimesvec rv nos dá o vetor normal orientado e o elemento de área vetorial:
vec rutimesvec rv= i& j& k1&0&40&1&3=(-4,-3,1)
Com isso, o elemento de área vetorial é dvec S=(vec rutimesvec rv),du,dv.

Passo 3

Substituímos na integral o campo no ponto vec r(u,v):
vec F(vec r(u,v))=(2u,5v,0)
O integrando do fluxo é o produto escalar:
vec F(vec r(u,v))cdot(vec rutimesvec rv)=(2u,5v,0)cdot(-4,-3,1)=-8u-15v
Agora fazemos a integral dupla sobre o retângulo em (u,v):
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integralu=0^1integralv=-8^8(-8u-15v),dv,du
Integramos em v primeiro: o termo -15v é ímpar e se anula por simetria, e -8u vira -8ucdot16=-128u.
Por fim,
integral0^1(-128u),du=-128cdot12=-64

Resposta

O fluxo de vec F através de S é -64, e S é uma superfície planar.

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