Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo) da campo vetorial sobre a superfície dada pela parametrização , com e . Vamos usar definição de fluxo via parâmetro e produto vetorial.
Passo 2
A superfície é um pedaço do plano definido por . Como é dada por uma parametrização linear em e , trata-se de uma superfície planar.
Calculemos os vetores tangentes:
O produto vetorial nos dá o vetor normal orientado e o elemento de área vetorial:
Com isso, o elemento de área vetorial é dvec S=(vec rutimesvec rv),du,dv.
Passo 3
Substituímos na integral o campo no ponto vec r(u,v):
vec F(vec r(u,v))=(2u,5v,0)
O integrando do fluxo é o produto escalar: vec F(vec r(u,v))cdot(vec rutimesvec rv)=(2u,5v,0)cdot(-4,-3,1)=-8u-15v
Agora fazemos a integral dupla sobre o retângulo em (u,v):
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integralu=0^1integralv=-8^8(-8u-15v),dv,du
Integramos em v primeiro: o termo -15v é ímpar e se anula por simetria, e -8u vira -8ucdot16=-128u.
Por fim, integral0^1(-128u),du=-128cdot12=-64
Resposta
O fluxo de vec F através de S é -64, e S é uma superfície planar.