Mostre como encontrar a solução geral dos problemas de valores iniciais abaixo
x y^prime-y=x^2-x+1, y(1)=12, x>0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o problema de valor inicial
Temos a equação
x,y'(x)-y(x)=x^2-x+1, y(1)=tfrac12, x>0
É uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocar em forma padrão de EDO linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por x (como x>0) obtemos
y'(x)-1xy(x)=x-1+1x
Aqui p(x)=-tfrac1x e q(x)=x-1+tfrac1x.

Passo 3

Calcular o fator integrante mu(x). Por definição
mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(integral -tfrac1x,dxr)=e^-ln x=x^-1

Passo 4

Multiplicar a EDO por mu(x)=x^-1. Temos
x^-1y'(x)-x^-2y(x)=1-1x+1x^2
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(x^-1y(x)r)=1-1x+1x^2
Agora integramos ambos os lados:
x^-1y(x)=integrall(1-tfrac1x+tfrac1x^2r)dx =x-ln x-1x+C

Passo 5

Isolar y(x). Multiplicando por x:
y(x)=x^2 -xln x -1 +C,x

Passo 6

Determinar a constante C com a condição inicial y(1)=1/2:
Substituindo x=1 em y(x)
tfrac12 =1^2 -1cdotln1 -1 +Ccdot1 =0 +C implies C=tfrac12
Portanto a solução particular é
y(x)=x^2 -xln x -1 +12 x

Resposta

y(x)=x^2 -xln x -1 +tfrac12 x

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