Que curvas são representadas pelas expressões a seguir?
$ \vec{r}(t)=[2+r \cos 4 t, 6+r \operatorname{sen} 4 t, 2 t]$

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica r(t) = [2 + rcos4t, 6 + rsin4t, 2t]. O conteúdo aqui é identificação de curvas paramétricas no espaço e vamos precisar analisar separadamente a projeção no plano xy e o comportamento da coordenada z.

Passo 2

Projete a curva no plano xy: (x(t),y(t)) = (2 + rcos4t, 6 + rsin4t). Note que
(x-2)^2 + (y-6)^2 = (rcos4t)^2 + (rsin4t)^2 = r^2,
o que mostra que a projeção é uma circunferência de centro (2,6) e raio r.

Passo 3

Repare que a coordenada vertical é z(t)=2t, ou seja, varia linearmente com t. Isso, somado ao movimento circular no cilindro de equação (x-2)^2+(y-6)^2=r^2, caracteriza uma hélice circular que dá 4 voltas a cada 2pi em t e sobe De por volta.

Resposta

Uma hélice circular de raio r em torno do cilindro de equação (x-2)^2+(y-6)^2=r^2, subindo linearmente com z=2t.

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