Calcule a derivada de
c)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função da forma exponencial composta, então vamos usar propriedades de expoentes e a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando a lei dos expoentes. Podemos escrever:
h(x)=e^cos(x^2)e^x^2 = e^cos(x^2)-x^2
Aqui a função interna é u(x)=cos(x^2)-x^2.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x) aplicando a regra da cadeia em cada termo:
  • Para cos(x^2), temos ddxcos(x^2)=-sin(x^2)cdot 2x.
  • Para -x^2), temos ddx(-x^2)=-2x.
    Somando, obtemos:
u'(x)=-2xsin(x^2)-2x = -2xl(sin(x^2)+1r)

Passo 4

Aplicamos a derivada da exponencial composta, isto é, ddxe^u(x)=e^u(x)u'(x). Logo:
h'(x)=e^cos(x^2)-x^2cdotl[-2x(sin(x^2)+1)r]

Passo 5

Opcionalmente, voltamos à forma original em quociente de exponenciais:
h'(x)=-2xl(sin(x^2)+1r)e^cos(x^2)e^x^2

Resposta

h'(x)=-2xl(sin(x^2)+1r)e^cos(x^2)-x^2.

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