Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
F=[x-z, y-x, z-y], S: r=[u cos v, u sen v, u], 0 <= u <= 3, 0 <= v <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo da campo vetorial vec F = [x - z,; y - x,; z - y] sobre a superfície parametrizada por vec r(u,v) = [ucos v,; usin v,; u], com 0 <= u <= 3 e 0 <= v <= pi. O conteúdo principal aqui é cálculo de integral de superfície (fluxo) de campo vetorial e identificação do tipo de superfície.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de vec r e o produto vetorial para obter o elemento de superfície orientado:
vec ru = (cos v,; sin v,; 1),vec rv = (-usin v,; ucos v,; 0)
vec ru times vec rv = (-ucos v,; -usin v,; u),llVertvec ru times vec rvrrVert = uraiz2
Avaliamo vec F na parametrização vec r(u,v):
vec F(vec r(u,v)) = (ucos v - u,; usin v - ucos v,; u - usin v)
Fazemos o produto escalar vec F(vec r)cdot (vec ru times vec rv):
$$\vec F\cdot(\vec r_u \times \vec r_v) = (u\cos v - u)(-u\cos v) + (u\sin v - u\cos v)(-u\sin v) + (u - u\sin v),u
= u^2\bigl(\cos v + \cos v,\sin v - \sin v\bigr).$$
Montamos a integral dupla sobre vec Fcdot(vec ru times vec rv) = (ucos v - u)(-ucos v) + (usin v - ucos v)(-usin v) + (u - usin v),u = u^2l(cos v + cos v,sin v - sin vr) e integramos em D = [0,3]times[0,pi] primeiro:
u
Para cada termo em integral duplaS vec Fcdot dvec S = integralv=0^piintegralu=0^3 u^2(cos v + cos vsin v - sin v),du,dv = integral0^pi l[tfracu^33 r]0^3 (cos v + cos vsin v - sin v),dv = 9integral0^pi(cos v + cos vsin v - sin v),dv:
v
integral0^picos v,dv = [sin v]0^pi = 0 fazemos integral0^picos vsin v,dv, dá 0
t=sin v
Logo o fluxo é integral0^pisin v,dv = [-cos v]0^pi = 2.

Passo 3

A superfície S é aberta e corresponde à superfície lateral de um cone circular reto de equação z^2 = x^2 + y^2, truncada em u=3 e cobrindo vin[0,pi], ou seja, metade do cone.

Resposta

Fluxo = -18; S é uma superfície aberta, lateral de um cone circular reto de equação z^2 = x^2 + y^2.

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