Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície. ,
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo da campo vetorial sobre a superfície parametrizada por , com e . O conteúdo principal aqui é cálculo de integral de superfície (fluxo) de campo vetorial e identificação do tipo de superfície.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de e o produto vetorial para obter o elemento de superfície orientado:
Avaliamo vec F na parametrização vec r(u,v):
vec F(vec r(u,v)) = (ucos v - u,; usin v - ucos v,; u - usin v)
Fazemos o produto escalar vec F(vec r)cdot (vec ru times vec rv):
$$\vec F\cdot(\vec r_u \times \vec r_v) = (u\cos v - u)(-u\cos v) + (u\sin v - u\cos v)(-u\sin v) + (u - u\sin v),u
= u^2\bigl(\cos v + \cos v,\sin v - \sin v\bigr).$$
Montamos a integral dupla sobre vec Fcdot(vec ru times vec rv) = (ucos v - u)(-ucos v) + (usin v - ucos v)(-usin v) + (u - usin v),u = u^2l(cos v + cos v,sin v - sin vr) e integramos em D = [0,3]times[0,pi] primeiro:
u
Para cada termo em integral duplaS vec Fcdot dvec S = integralv=0^piintegralu=0^3 u^2(cos v + cos vsin v - sin v),du,dv = integral0^pi l[tfracu^33 r]0^3 (cos v + cos vsin v - sin v),dv = 9integral0^pi(cos v + cos vsin v - sin v),dv:
• v
• integral0^picos v,dv = [sin v]0^pi = 0 fazemos integral0^picos vsin v,dv, dá 0
• t=sin v
Logo o fluxo é integral0^pisin v,dv = [-cos v]0^pi = 2.
Passo 3
A superfície S é aberta e corresponde à superfície lateral de um cone circular reto de equação z^2 = x^2 + y^2, truncada em u=3 e cobrindo vin[0,pi], ou seja, metade do cone.
Resposta
Fluxo = -18; S é uma superfície aberta, lateral de um cone circular reto de equação z^2 = x^2 + y^2.