Que curvas são representadas pelas expressões a seguir?
$ \vec{r}(t)=[2+\cos 3 t,-2+\operatorname{sen} 3 t, 5]$

Passo 1

Temos a curva dada por vec r(t)=[2+cos(3t),,-2+sin(3t),,5]. O conteúdo aqui é curva paramétrica em R^3, e vamos precisar reconhecer padrões de circunferência usando funções trigonométricas.

Passo 2

Note que as componentes são:
z


Em particular, é constante igual a 5, então a curva fica inteiramente num plano horizontal.

Passo 3

Para ver a forma no plano z=5, escrevemos a projeção no plano xy. Definindo:
X^2+Y^2=cos^2(3t)+sin^2(3t)=1

temos

Passo 4

Da equação X^2+Y^2=1 concluímos que, na projeção xy, é uma circunferência de raio 1. Como z=5 fixa o plano, a curva é essa circunferência deslocada para o centro (2,-2,5) e é percorrida com velocidade angular 3.

Resposta

Uma circunferência de raio 1 no plano z=5, com centro em (2,-2,5), percorrida com velocidade angular 3.

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