Encontrar os coeficientes A,B,C,D\) (algebra passo a passo)\n
- Multiplicando ambos os lados por \((x-1)^{2}(x^{2}+2)\) obtemos a identidade polinomial
\[3x^{3}-5x+8 = A(x-1)(x^{2}+2) + B(x^{2}+2) + (Cx+D)(x-1)^{2}.
Expandir cada termo (calcule com calma):
A(x-1)(x^{2}+2) = A(x^{3}-x^{2}+2x-2) = A x^{3} - A x^{2} + 2A x -2A.
B(x^{2}+2) = B x^{2} + 2B.
(Cx+D)(x-1)^{2} = (Cx+D)(x^{2}-2x+1)
= Cx^{3} +(-2C+D)x^{2} + (C-2D)x + D.
Somando todos os termos do lado direito:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{3}:&\quad A + C,\\\ \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad -A + B -2C + D,\\\ \text{coeficiente de }x^{1}:&\quad 2A + C -2D,\\\ \text{termo constante}:&\quad -2A + 2B + D. \end{aligned}
Igualando com os coeficientes do polinómio do lado esquerdo 3x^{3}+0x^{2}-5x+8, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 3,\\[4pt] - A + B -2C + D = 0,\\[4pt] 2A + C -2D = -5,\\[4pt] -2A + 2B + D = 8. \end{cases}
Resolver o sistema passo a passo:
Da primeira equação C = 3 - A\].
- Substituindo nas demais, da terceira vem
\[2A + (3-A) -2D = -5 \quad\Rightarrow\quad A -2D = -8 \quad\Rightarrow\quad A = 2D-8.\]
- Da segunda obtemos \(B = 6 - A - D (fazendo as contas).
- Substituindo A=2D-8 e B na quarta equação:
4A + D = 4.
Substituir A=2D-8 dá 9D-32=4\Rightarrow 9D=36\Rightarrow D=4.
Então A=2\cdot4-8=0.
Com A=0 e D=4, C=3-A=3.
Finalmente B=6-A-D=6-0-4=2.
Resultado: A=0,\; B=2,\; C=3,\; D=4.]
Passo 4
Escrever a decomposição encontrada\n
Substituindo os coeficientes no somatório de frações parciais temos
Juntar as primitivas parciais (sem repetir aqui a forma final completa)\n
Somando os resultados parciais temos uma primitiva da função original: a primitiva é a soma da primitiva de \dfrac{2}{(x-1)^{2}}, da de \dfrac{3x}{x^{2}+2} e da de \dfrac{4}{x^{2}+2}, mais uma constante de integração.