Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{3 x^{3}-5 x+8}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+2\right)} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado\n
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{3 x^{3}-5 x+8}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+2\right)}\,dx.\n
  • Observações úteis extraídas do enunciado:
    • O numerador é um polinómio de grau 3.
    • O denominador é (x-1)^{2}(x^{2}+2), produto de um fator linear repetido (x-1)^{2} e um quadrático irreduzível x^{2}+2.
  • A tarefa: encontrar uma primitiva (antiderivada) para a função racional dada.

Passo 2

Ideia do método (sem ainda resolver): decomposição em frações parciais\n
  • Como o grau do numerador ( 3) é menor que o grau do denominador ( 4), a função é própria e podemos aplicar decomposição em frações parciais.\n
  • Para cada fator do denominador usamos termos padrão:
    • para (x-1)^{2} usamos \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}};
    • para x^{2}+2 (quadrático irreduzível) usamos \dfrac{Cx+D}{x^{2}+2}.\n
  • Então assumimos a identidade
\frac{3 x^{3}-5 x+8}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2}.

Passo 3

Encontrar os coeficientes A,B,C,D\) (algebra passo a passo)\n - Multiplicando ambos os lados por \((x-1)^{2}(x^{2}+2)\) obtemos a identidade polinomial \[3x^{3}-5x+8 = A(x-1)(x^{2}+2) + B(x^{2}+2) + (Cx+D)(x-1)^{2}.
  • Expandir cada termo (calcule com calma):
    • A(x-1)(x^{2}+2) = A(x^{3}-x^{2}+2x-2) = A x^{3} - A x^{2} + 2A x -2A.
    • B(x^{2}+2) = B x^{2} + 2B.
    • (Cx+D)(x-1)^{2} = (Cx+D)(x^{2}-2x+1)
= Cx^{3} +(-2C+D)x^{2} + (C-2D)x + D.
  • Somando todos os termos do lado direito:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{3}:&\quad A + C,\\\ \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad -A + B -2C + D,\\\ \text{coeficiente de }x^{1}:&\quad 2A + C -2D,\\\ \text{termo constante}:&\quad -2A + 2B + D. \end{aligned}
  • Igualando com os coeficientes do polinómio do lado esquerdo 3x^{3}+0x^{2}-5x+8, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 3,\\[4pt] - A + B -2C + D = 0,\\[4pt] 2A + C -2D = -5,\\[4pt] -2A + 2B + D = 8. \end{cases}
  • Resolver o sistema passo a passo:
    • Da primeira equação C = 3 - A\]. - Substituindo nas demais, da terceira vem \[2A + (3-A) -2D = -5 \quad\Rightarrow\quad A -2D = -8 \quad\Rightarrow\quad A = 2D-8.\] - Da segunda obtemos \(B = 6 - A - D (fazendo as contas).
      - Substituindo A=2D-8 e B na quarta equação:
    4A + D = 4.
    • Substituir A=2D-8 9D-32=4\Rightarrow 9D=36\Rightarrow D=4.
    • Então A=2\cdot4-8=0.
    • Com A=0 e D=4, C=3-A=3.
    • Finalmente B=6-A-D=6-0-4=2.
  • Resultado: A=0,\; B=2,\; C=3,\; D=4.]

Passo 4

Escrever a decomposição encontrada\n
  • Substituindo os coeficientes no somatório de frações parciais temos
\frac{3 x^{3}-5 x+8}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+2\right)}=\frac{0}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}+\frac{3x+4}{x^{2}+2}.
  • Simplificando:
\frac{3 x^{3}-5 x+8}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+2\right)}=\frac{2}{(x-1)^{2}}+\frac{3x+4}{x^{2}+2}.

Passo 5

Integrar termo a termo e explicar cada técnica usada\n
  • A integral original fica
\int \frac{3 x^{3}-5 x+8}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+2\right)}\,dx = \int \frac{2}{(x-1)^{2}}\,dx + \int \frac{3x+4}{x^{2}+2}\,dx.
Integrando o primeiro termo \dfrac{2}{(x-1)^{2}}\n
  • Reescreve como potência: \dfrac{2}{(x-1)^{2}} = 2(x-1)^{-2}.
  • Regra de potência: \displaystyle \int (x-1)^{n}\,dx = \frac{(x-1)^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Aqui n=-2, então
\int 2(x-1)^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{(x-1)^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x-1}.
Integrando o segundo termo \dfrac{3x+4}{x^{2}+2}\n
  • Separe em duas parcelas:
\frac{3x+4}{x^{2}+2} = \frac{3x}{x^{2}+2} + \frac{4}{x^{2}+2}.
Para \displaystyle \int \frac{3x}{x^{2}+2}\,dx\n
  • Use substituição: seja u = x^{2}+2, então du = 2x\,dx.
  • Assim 3x\,dx = \tfrac{3}{2}\,du, e a integral é
\int \frac{3x}{x^{2}+2}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{3}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr).
Para \displaystyle \int \frac{4}{x^{2}+2}\,dx\n
  • Use a fórmula padrão \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right).
  • Aqui a^{2}=2, logo a=\sqrt{2}. Então
\int \frac{4}{x^{2}+2}\,dx = 4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)=\frac{4}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).
  • Simplificando \dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}, obtemos
\int \frac{4}{x^{2}+2}\,dx = 2\sqrt{2}\,\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Juntar as primitivas parciais (sem repetir aqui a forma final completa)\n
  • Somando os resultados parciais temos uma primitiva da função original: a primitiva é a soma da primitiva de \dfrac{2}{(x-1)^{2}}, da de \dfrac{3x}{x^{2}+2} e da de \dfrac{4}{x^{2}+2}, mais uma constante de integração.

Resposta

-\frac{2}{x-1}+\frac{3}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)+2\sqrt{2}\,\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C

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