Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- Integral definida no intervalo
. - Integrando é a função racional
.
Passo 2
Primeira observação útil: simplificar o denominador. Vamos desenvolver e fatorar o polinômio do denominador:
Reconhece-se que
é um quadrado perfeito porque
e
. Logo
Portanto a integral fica
Passo 3
Estratégia: decompor a função em frações mais simples cuja primitiva é direta. Para uma fração com denominador
o formato de decomposição é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Determinar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora igualamos coeficientes. Expandindo o lado direito:
Comparando coeficiente de
:
. Comparando termo constante:
. Substituindo
na segunda equação:
Portanto
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Lembrando das regras básicas de integração:
-
. -
para . Em particular, .
Aplicando isso:
Logo uma primitiva é
Passo 6
Avaliar a integral definida
usando
:
Calculando
:
Calculando
:
Portanto
Passo 7
Fazer a simplificação aritmética:
Opcionalmente usar
para escrever