Calcule as integrais a seguir:
\int_{0}^{3} \frac{4 x+3}{16-8 x+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{3} \frac{4x+3}{16-8x+x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Integral definida no intervalo [0,3].
  • Integrando é a função racional \dfrac{4x+3}{16-8x+x^{2}}.

Passo 2

Primeira observação útil: simplificar o denominador. Vamos desenvolver e fatorar o polinômio do denominador:
16-8x+x^{2}=x^{2}-8x+16.
Reconhece-se que x^{2}-8x+16 é um quadrado perfeito porque (-4)^{2}=16 e 2\cdot x\cdot(-4)=-8x. Logo
x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{3} \frac{4x+3}{(x-4)^{2}}\,dx.

Passo 3

Estratégia: decompor a função em frações mais simples cuja primitiva é direta. Para uma fração com denominador (x-4)^{2} o formato de decomposição é
\frac{4x+3}{(x-4)^{2}}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{(x-4)^{2}},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Determinar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-4)^{2} obtemos
4x+3 = A(x-4)+B.
Agora igualamos coeficientes. Expandindo o lado direito:
A(x-4)+B = Ax -4A + B.
Comparando coeficiente de x: 4 = A. Comparando termo constante: 3 = -4A + B. Substituindo A=4 na segunda equação:
3 = -4\cdot 4 + B \quad\Rightarrow\quad 3 = -16 + B \quad\Rightarrow\quad B = 19.
Portanto
\frac{4x+3}{(x-4)^{2}}=\frac{4}{x-4}+\frac{19}{(x-4)^{2}}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrando das regras básicas de integração:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
  • \displaystyle \int (x-a)^{n}\,dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Em particular, \displaystyle \int (x-a)^{-2}\,dx = - (x-a)^{-1} + C = -\frac{1}{x-a}+C.
Aplicando isso:
\int \left(\frac{4}{x-4}+\frac{19}{(x-4)^{2}}\right)dx =4\ln|x-4| + 19\left(-\frac{1}{x-4}\right) + C.
Logo uma primitiva é
F(x)=4\ln|x-4| - \frac{19}{x-4}.

Passo 6

Avaliar a integral definida \int_{0}^{3} usando F:
\int_{0}^{3} \frac{4x+3}{(x-4)^{2}}\,dx = F(3)-F(0).
Calculando F(3):
F(3)=4\ln|3-4| - \frac{19}{3-4}=4\ln 1 - \frac{19}{-1}=0+19=19.
Calculando F(0):
F(0)=4\ln|0-4| - \frac{19}{0-4}=4\ln 4 - \frac{19}{-4}=4\ln 4 + \frac{19}{4}.
Portanto
F(3)-F(0)=19 -\left(4\ln 4 + \frac{19}{4}\right).

Passo 7

Fazer a simplificação aritmética:
19 - \left(4\ln 4 + \frac{19}{4}\right) = \frac{76}{4} - \frac{19}{4} - 4\ln 4 = \frac{57}{4} - 4\ln 4.
Opcionalmente usar \ln 4 = 2\ln 2 para escrever
\frac{57}{4} - 4\ln 4 = \frac{57}{4} - 8\ln 2.

Resposta

\dfrac{57}{4} - 4\ln 4

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