Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a integral
- Informação útil: o integrando é uma função racional (fração de polinômios). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e por que funciona):
- Para integrar uma função racional como
o método natural é decompor em frações parciais. - Verificação rápida: o grau do numerador é
e o grau do denominador é , então a fração é própria (não precisa fazer divisão polinomial). - Como o denominador fatorado tem um fator linear
e um quadrático irreversível (não tem raízes reais), o formato da decomposição será
com constantes
a determinar.
Passo 3
Montagem da igualdade para determinar
:
Começando da decomposição proposta,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Expansão e coleta de termos para igualar coeficientes:
Expande-se o lado direito:
Somando:
Comparando com o lado esquerdo
obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
Passo 5
Resolução do sistema passo a passo:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Substituindo
na terceira equação:
Então
Passo 6
Escrever a decomposição encontrada e preparar a integração:
Com
,
,
temos
Portanto a integral se separa em
Passo 7
Integração do primeiro termo
:
- Fórmula usada:
. - Aplicando:
Passo 8
Integração do segundo termo
:
- Substituição simples: seja
. Então , logo . - Assim
(Como
para todo
, o valor absoluto é desnecessário, mas escrever
está ok.)
Passo 9
Integração do terceiro termo
:
- Fórmula usada: para
,
- Aqui
. Portanto
e multiplicando por
:
Passo 10
Juntando todos os resultados e escrevendo a antiderivada geral:
Somando as três partes obtidas:
onde
é a constante de integração.