Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{3 x^{2}+x+2}{(x-2)\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a integral
\int \frac{3 x^{2}+x+2}{(x-2)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
  • Informação útil: o integrando é uma função racional (fração de polinômios). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e por que funciona):
  • Para integrar uma função racional como \dfrac{3x^{2}+x+2}{(x-2)(x^{2}+4)} o método natural é decompor em frações parciais.
  • Verificação rápida: o grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 3, então a fração é própria (não precisa fazer divisão polinomial).
  • Como o denominador fatorado tem um fator linear (x-2) e um quadrático irreversível x^{2}+4 (não tem raízes reais), o formato da decomposição será
\frac{3x^{2}+x+2}{(x-2)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4},
com constantes A,B,C a determinar.

Passo 3

Montagem da igualdade para determinar A,B,C:
Começando da decomposição proposta,
\frac{3x^{2}+x+2}{(x-2)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x^{2}+4) obtemos a identidade polinomial
3x^{2}+x+2 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-2).

Passo 4

Expansão e coleta de termos para igualar coeficientes:
Expande-se o lado direito:
A(x^{2}+4) = A x^{2} + 4A,
(Bx+C)(x-2) = Bx^{2} + (C-2B)x -2C.
Somando:
A x^{2} + 4A + Bx^{2} + (C-2B)x -2C = (A+B)x^{2} + (C-2B)x + (4A-2C).
Comparando com o lado esquerdo 3x^{2}+x+2 obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
\begin{cases} A + B = 3,\\[4pt] C - 2B = 1,\\[4pt] 4A - 2C = 2. \end{cases}]

Passo 5

Resolução do sistema passo a passo:
Da primeira equação B = 3 - A. Substituindo na segunda:
C - 2(3-A) = 1 \quad\Rightarrow\quad C -6 +2A =1 \quad\Rightarrow\quad C=7-2A.
Substituindo C na terceira equação:
4A - 2(7-2A) = 2 \quad\Rightarrow\quad 4A -14 +4A =2 \quad\Rightarrow\quad 8A =16 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Então
B = 3 - A = 1, \qquad C = 7 - 2A = 7 -4 =3.

Passo 6

Escrever a decomposição encontrada e preparar a integração:
Com A=2, B=1, C=3 temos
\frac{3x^{2}+x+2}{(x-2)(x^{2}+4)} = \frac{2}{x-2} + \frac{x+3}{x^{2}+4}.
Portanto a integral se separa em
\int \frac{3x^{2}+x+2}{(x-2)(x^{2}+4)}\,dx = \int \frac{2}{x-2}\,dx + \int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx + 3\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 7

Integração do primeiro termo \displaystyle \int \frac{2}{x-2}\,dx:
  • Fórmula usada: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
  • Aplicando:
\int \frac{2}{x-2}\,dx = 2\int \frac{1}{x-2}\,dx = 2\ln|x-2|.

Passo 8

Integração do segundo termo \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx:
  • Substituição simples: seja u=x^{2}+4. Então du = 2x\,dx, logo x\,dx = \dfrac{1}{2}du.
  • Assim
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4).
(Como x^{2}+4>0 para todo x, o valor absoluto é desnecessário, mas escrever \ln(x^{2}+4) está ok.)

Passo 9

Integração do terceiro termo \displaystyle 3\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx:
  • Fórmula usada: para a>0,
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
  • Aqui a^{2}=4\Rightarrow a=2. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right),
e multiplicando por 3:
3\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 10

Juntando todos os resultados e escrevendo a antiderivada geral:
Somando as três partes obtidas:
\int \frac{3x^{2}+x+2}{(x-2)(x^{2}+4)}\,dx = 2\ln|x-2| + \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4) + \frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

2\ln|x-2|+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)+\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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