Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{3 x-1}{4 x^{3}-x^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{3x-1}{4x^{3}-x^{2}}\,dx.
  • Informação útil: o denominador pode ser fatorado; isso vai nos ajudar a decompor a fração em parcelas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Fatorar o denominador para ver a estrutura da fração.
4x^{3}-x^{2}=x^{2}(4x-1).
Assim a integral fica
\int \frac{3x-1}{x^{2}(4x-1)}\,dx.

Passo 3

Escolher a forma de decomposição em frações parciais (motivo: denominador tem fator quadrado x^{2} e um fator linear 4x-1).
Para um fator x^{2} devemos considerar termos correspondentes a 1/x e 1/x^{2}. Para o fator linear 4x-1 usamos uma parcela do tipo 1/(4x-1). Então assumimos a decomposição
\frac{3x-1}{x^{2}(4x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{4x-1},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 4

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por x^{2}(4x-1) e obter uma identidade polinomial.
3x-1 = A\cdot x(4x-1) + B\cdot(4x-1) + C\cdot x^{2}.
Expandindo o lado direito (ou usando valores convenientes de x) obteremos A,B,C.

Passo 5

Determinar B, C e A de forma prática escolhendo valores convenientes de x.
  • Tomando x=0:
-1 = B\cdot(4\cdot 0-1) = -B \quad\Rightarrow\quad B=1.
  • Tomando x=\dfrac{1}{4} (que anula 4x-1):
3\cdot\frac{1}{4}-1 = C\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{4} = C\cdot\frac{1}{16} \quad\Rightarrow\quad C=-4.
  • Para encontrar A podemos escolher x=1 (ou comparar coeficientes). Com x=1:
3\cdot1-1 = A\cdot1(4\cdot1-1) + B(4\cdot1-1) + C\cdot1^{2}.
Substituindo B=1 e C=-4:
2 = A\cdot 3 + 1\cdot 3 + (-4) \quad\Rightarrow\quad 2 = 3A -1 \quad\Rightarrow\quad 3A=3 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Portanto A=1, B=1, C=-4.

Passo 6

Escrever a decomposição completa e confirmar a integranda em parcelas.
\frac{3x-1}{x^{2}(4x-1)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{4x-1}.
Logo a integral se separa:
\int \frac{3x-1}{4x^{3}-x^{2}}\,dx = \int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{4x-1}\right)\,dx.

Passo 7

Integrar termo a termo, explicando cada integral.
  1. Integração de \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx.
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_1.
(Explicação: a primitiva de 1/x é o logaritmo natural.)
  1. Integração de \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Escrever x^{-2}. A primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + C_2.
  1. Integração de \displaystyle \int \frac{-4}{4x-1}\,dx.
Fazer substituição u=4x-1, então du=4\,dx e dx=\dfrac{du}{4}. Assim
\int -\frac{4}{4x-1}\,dx = -4\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{4} = -\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C_3 = -\ln|4x-1| + C_3.

Passo 8

Juntar todas as primitivas (somando constantes numa só constante C).
\int \frac{3x-1}{4x^{3}-x^{2}}\,dx = \ln|x| -\frac{1}{x} - \ln|4x-1| + C.
Opcionalmente podemos combinar os logaritmos:
\ln|x| - \ln|4x-1| = \ln\left|\frac{x}{4x-1}\right|,
assim outra forma equivalente é
\ln\left|\frac{x}{4x-1}\right| -\frac{1}{x} + C.

Resposta

\displaystyle \ln|x| -\frac{1}{x} - \ln|4x-1| + C

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