Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede calcular a integral indefinida
. - Informação útil: o denominador pode ser fatorado; isso vai nos ajudar a decompor a fração em parcelas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Fatorar o denominador para ver a estrutura da fração.
Assim a integral fica
Passo 3
Escolher a forma de decomposição em frações parciais (motivo: denominador tem fator quadrado
e um fator linear
).
Para um fator
devemos considerar termos correspondentes a
e
. Para o fator linear
usamos uma parcela do tipo
. Então assumimos a decomposição
onde
são constantes a determinar.
Passo 4
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
e obter uma identidade polinomial.
Expandindo o lado direito (ou usando valores convenientes de
) obteremos
.
Passo 5
Determinar
,
e
de forma prática escolhendo valores convenientes de
.
- Tomando
:
- Tomando
(que anula ):
- Para encontrar
podemos escolher (ou comparar coeficientes). Com :
Substituindo
e
:
Portanto
,
,
.
Passo 6
Escrever a decomposição completa e confirmar a integranda em parcelas.
Logo a integral se separa:
Passo 7
Integrar termo a termo, explicando cada integral.
- Integração de
.
(Explicação: a primitiva de
é o logaritmo natural.)
- Integração de
.
Escrever
. A primitiva de
é
para
. Aqui
, então
- Integração de
.
Fazer substituição
, então
e
. Assim
Passo 8
Juntar todas as primitivas (somando constantes numa só constante
).
Opcionalmente podemos combinar os logaritmos:
assim outra forma equivalente é