Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
Observação importante: a expressão escrita sem parênteses é ambígua — pode significar
ou
. Neste exercício vou assumir a interpretação mais comum neste tipo de questão, isto é
. Portanto a integral que vou resolver é
Passo 2
Qual técnica usar? Quando aparece um logaritmo multiplicando uma função simples (aqui
), o método padrão é a integração por partes. Antes de aplicar, vamos lembrar a fórmula e o raciocínio por trás dela.
Fórmula da integração por partes: para duas funções
e
com derivadas adequadas vale
Explicando: escolhe-se uma parte
cuja derivada
fica mais simples, e o restante como
, que é fácil de integrar para obter
. Depois aplica-se a fórmula acima.
Passo 3
Escolha de
e
. Aqui faz sentido escolher como
a parte que envolve o logaritmo, porque a derivada de
é simples. Então:
Justificativa informal: derivar um log dá uma potência negativa simples (
); integrar
também é simples (resulta em
). Essa combinação costuma simplificar bastante a integral.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivada de
:
Como
e
é constante, temos
. Logo
Integração de
:
(Foi usada a regra
para
, aqui
.)
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Calcular a integral remanescente
:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Passo 7
Verificação rápida por derivação (confirmação): derivando
obtém-se
o que coincide com o integrando — portanto a primitiva está correta.
Observação final: se a intenção do enunciado fosse
, a integral seria diferente e valeria
. Como isso é ambíguo no enunciado original, ficou explícito no Passo 1 a hipótese adotada (
).