Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{\ln 7 y}{y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \frac{\ln 7 y}{y^{2}}\, dy.
Observação importante: a expressão escrita sem parênteses é ambígua — pode significar \ln(7y) ou (\ln 7)\,y. Neste exercício vou assumir a interpretação mais comum neste tipo de questão, isto é \ln(7y). Portanto a integral que vou resolver é
\int \frac{\ln(7y)}{y^{2}}\, dy.

Passo 2

Qual técnica usar? Quando aparece um logaritmo multiplicando uma função simples (aqui y^{-2}), o método padrão é a integração por partes. Antes de aplicar, vamos lembrar a fórmula e o raciocínio por trás dela.
Fórmula da integração por partes: para duas funções u(y) e v(y) com derivadas adequadas vale
\int u\, dv = u v - \int v\, du.
Explicando: escolhe-se uma parte u cuja derivada du fica mais simples, e o restante como dv, que é fácil de integrar para obter v. Depois aplica-se a fórmula acima.

Passo 3

Escolha de u e dv. Aqui faz sentido escolher como u a parte que envolve o logaritmo, porque a derivada de \ln(7y) é simples. Então:
u = \ln(7y),\qquad dv = y^{-2}\,dy.
Justificativa informal: derivar um log dá uma potência negativa simples ( 1/y); integrar y^{-2} também é simples (resulta em -1/y). Essa combinação costuma simplificar bastante a integral.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivada de u:
du = \frac{d}{dy}\bigl(\ln(7y)\bigr)\,dy.
Como \ln(7y)=\ln 7 + \ln y e \ln 7 é constante, temos \dfrac{d}{dy}\ln(7y)=\dfrac{1}{y}. Logo
du = \frac{1}{y}\,dy.
Integração de dv:
v=\int y^{-2}\,dy=\int y^{-2}\,dy=-\frac{1}{y}.
(Foi usada a regra \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, aqui n=-2.)

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes:
\int \frac{\ln(7y)}{y^{2}}\,dy = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \frac{\ln(7y)}{y^{2}}\,dy = \ln(7y)\left(-\frac{1}{y}\right) - \int \left(-\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{y}\,dy\right).
Simplificando os sinais:
\int \frac{\ln(7y)}{y^{2}}\,dy = -\frac{\ln(7y)}{y} + \int \frac{1}{y^{2}}\,dy.

Passo 6

Calcular a integral remanescente \int y^{-2}\,dy:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int y^{-2}\,dy=-\frac{1}{y}+C.
Substituindo de volta:
\int \frac{\ln(7y)}{y^{2}}\,dy = -\frac{\ln(7y)}{y} -\frac{1}{y} + C.
Podemos fatorar -1/y se quisermos uma forma mais compacta:
\int \frac{\ln(7y)}{y^{2}}\,dy = -\frac{\ln(7y)+1}{y} + C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (confirmação): derivando F(y)=-\dfrac{\ln(7y)+1}{y} obtém-se
F'(y)=\frac{\ln(7y)}{y^{2}},
o que coincide com o integrando — portanto a primitiva está correta.
Observação final: se a intenção do enunciado fosse (\ln 7)\,y/y^{2}=(\ln 7)/y, a integral seria diferente e valeria (\ln 7)\ln|y|+C. Como isso é ambíguo no enunciado original, ficou explícito no Passo 1 a hipótese adotada ( \ln(7y)).

Resposta

\displaystyle -\frac{\ln(7y)+1}{y}+C

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