Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas: o integrando é a função
. Quer-se uma função
tal que
, mais a constante de integração.
Passo 2
Ideia de resolução (explicação do método de substituição de forma didática).
Quando uma integral tem uma função composta do tipo e aparece também algo proporcional a
, é conveniente fazer a substituição
. Isso transforma a integral em uma integral em
, geralmente mais simples. A regra usada é: se
e
, então
Quando uma integral tem uma função composta do tipo
Aqui é útil escolher
igual à expressão que está dentro da raiz quadrada, porque sua derivada envolve
que aparece no numerador.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente.
Escolhe-se
Escolhe-se
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
resulta
Agora substitui-se na integral original. Primeiro escrevendo o integrando em termos de
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Calcular a integral em
usando a regra da potência.
A fórmula básica é: para ,
A fórmula básica é: para
onde
é um número real e
é a constante de integração. Aqui
. Assim
Multiplicando pelo fator externo
resulta
Passo 5
Voltar à variável
(retro-substituição).
Lembrando que , obtemos a primitiva em
:
Lembrando que
Passo 6
Verificação rápida (diferenciação para checar).
Diferenciando :
Diferenciando
porque a derivada de
é
. Simplificando:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.