Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{3 x}{\sqrt{1+7 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{3x}{\sqrt{1+7x^{2}}}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \dfrac{3x}{\sqrt{1+7x^{2}}}. Quer-se uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{1+7x^{2}}}, mais a constante de integração.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação do método de substituição de forma didática).
Quando uma integral tem uma função composta do tipo f(g(x)) e aparece também algo proporcional a g'(x), é conveniente fazer a substituição u=g(x). Isso transforma a integral em uma integral em u, geralmente mais simples. A regra usada é: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui é útil escolher u igual à expressão que está dentro da raiz quadrada, porque sua derivada envolve x que aparece no numerador.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente.
Escolhe-se
u=1+7x^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 14x\,dx.
Isolando x\,dx resulta
x\,dx=\frac{du}{14}.
Agora substitui-se na integral original. Primeiro escrevendo o integrando em termos de u:
\int \frac{3x}{\sqrt{1+7x^{2}}}\,dx = \int \frac{3x}{\sqrt{u}}\,dx.
Substituindo x\,dx=\dfrac{du}{14} obtemos
\int \frac{3x}{\sqrt{u}}\,dx = \int \frac{3}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{14} = \frac{3}{14}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u usando a regra da potência.
A fórmula básica é: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde n é um número real e C é a constante de integração. Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Assim
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Multiplicando pelo fator externo \dfrac{3}{14} resulta
\frac{3}{14}\int u^{-1/2}\,du = \frac{3}{14}\cdot 2u^{1/2} = \frac{3}{7}u^{1/2} + C.

Passo 5

Voltar à variável x (retro-substituição).
Lembrando que u=1+7x^{2}, obtemos a primitiva em x:
F(x)=\frac{3}{7}\sqrt{1+7x^{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciação para checar).
Diferenciando F(x):
F'(x)=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+7x^{2}}}\cdot 14x
porque a derivada de \sqrt{1+7x^{2}} é \dfrac{1}{2\sqrt{1+7x^{2}}}\cdot 14x. Simplificando:
F'(x)=\frac{3}{7}\cdot\frac{14x}{2\sqrt{1+7x^{2}}}=\frac{3x}{\sqrt{1+7x^{2}}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{3}{7}\sqrt{1+7x^{2}}+C

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