Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é a função racional
. - Há singularidades em
e (valores onde o denominador se anula), então a primitiva será válida para e . - O numerador tem grau
e o denominador grau , ou seja, é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Passo 2
Vamos escolher um método apropriado. Quando a integranda é uma fração racional própria cujo denominador fatora em fatores lineares simples, uma técnica prática é decompor a fração em frações parciais do tipo
. Isso transforma a integral em somas de integrais de termos
, que são fáceis de integrar. Vou explicar o porquê dessa decomposição a seguir.
Explicação didática da ideia de frações parciais:
- A ideia é escrever a função racional como soma de frações mais simples cujas primitivas conhecemos.
- Para fatores lineares simples no denominador, tentamos uma soma de termos
. - As constantes são determinadas impondo que a identidade seja verdadeira para todo
.
Passo 3
Proponho a decomposição
onde
e
são constantes desconhecidas. Para achar
e
, multiplicamos ambos os lados por
(válido para
) e obtemos a identidade em
:
Essa é uma igualdade de polinômios válida para todo
, então podemos escolher valores convenientes de
para encontrar
e
.
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Passo 4
Substituindo
e
na decomposição obtemos
Portanto a integral se torna a soma de duas integrais simples:
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Lembrete: a primitiva de
é
, porque
. Aplicando isso:
Somando e reunindo a constante de integração em uma única constante
obtemos
Passo 6
Podemos simplificar usando a propriedade dos logaritmos
. Assim:
Uma verificação rápida por derivação:
que recupera a integranda, confirmando que a primitiva está correta.