Calcule as integrais a seguir:
\int \frac{1}{x(x+9)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x(x+9)}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é a função racional \dfrac{1}{x(x+9)}.
  • Há singularidades em x=0 e x=-9 (valores onde o denominador se anula), então a primitiva será válida para x\neq0 e x\neq-9.
  • O numerador tem grau 0 e o denominador grau 2, ou seja, é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador).

Passo 2

Vamos escolher um método apropriado. Quando a integranda é uma fração racional própria cujo denominador fatora em fatores lineares simples, uma técnica prática é decompor a fração em frações parciais do tipo \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+9}. Isso transforma a integral em somas de integrais de termos 1/(x+a), que são fáceis de integrar. Vou explicar o porquê dessa decomposição a seguir.
Explicação didática da ideia de frações parciais:
  • A ideia é escrever a função racional como soma de frações mais simples cujas primitivas conhecemos.
  • Para fatores lineares simples no denominador, tentamos uma soma de termos \dfrac{\text{constante}}{x-\text{raiz}}.
  • As constantes são determinadas impondo que a identidade seja verdadeira para todo x.

Passo 3

Proponho a decomposição
\frac{1}{x(x+9)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+9},
onde A e B são constantes desconhecidas. Para achar A e B, multiplicamos ambos os lados por x(x+9) (válido para x\neq0,-9) e obtemos a identidade em x:
1 = A(x+9)+Bx.
Essa é uma igualdade de polinômios válida para todo x, então podemos escolher valores convenientes de x para encontrar A e B.
Escolhendo x=0:
1 = A(0+9) + B\cdot0 \quad\Rightarrow\quad 1 = 9A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{9}.
Escolhendo x=-9:
1 = A\cdot0 + B(-9) \quad\Rightarrow\quad 1 = -9B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{9}.

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição obtemos
\frac{1}{x(x+9)}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x+9}.
Portanto a integral se torna a soma de duas integrais simples:
\int \frac{1}{x(x+9)}\,dx=\int\left(\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x+9}\right)dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrete: a primitiva de 1/x é \ln|x|, porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}. Aplicando isso:
\int\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{9}\ln|x|+C_1, \qquad \int\left(-\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x+9}\right)dx=-\frac{1}{9}\ln|x+9|+C_2.
Somando e reunindo a constante de integração em uma única constante C obtemos
\int \frac{1}{x(x+9)}\,dx=\frac{1}{9}\ln|x|-\frac{1}{9}\ln|x+9|+C.

Passo 6

Podemos simplificar usando a propriedade dos logaritmos \ln a-\ln b=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right). Assim:
\frac{1}{9}\ln|x|-\frac{1}{9}\ln|x+9|=\frac{1}{9}\ln\!\left|\frac{x}{x+9}\right|.
Uma verificação rápida por derivação:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{9}\ln|x|-\frac{1}{9}\ln|x+9|\right]=\frac{1}{9x}-\frac{1}{9(x+9)}=\frac{x+9-x}{9x(x+9)}=\frac{1}{x(x+9)},
que recupera a integranda, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{9}\ln\!\left|\frac{x}{x+9}\right|+C

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