Calcule as integrais a seguir:
\int \operatorname{sen}^{4} 5 x \cos ^{3} 5 x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{4}5x\;\cos^{3}5x\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integrada é um produto de potências de seno e cosseno com o mesmo argumento 5x.
  • As potências são \operatorname{sen}^{4}5x (par) e \cos^{3}5x (ímpar).
  • Não há informação extra (como limites), portanto é uma primitiva indefinida, ou seja, a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia e motivo (explicação didática): quando temos um produto \sin^{m}(ax)\cos^{n}(ax) com uma das potências ímpar (aqui \cos^{3}5x é ímpar), é conveniente separar um fator de \cos (ou de \sin, se a potência ímpar for a de \sin) para usar uma substituição do tipo u=\sin(ax) (ou u=\cos(ax)). A razão: ao separar um fator \cos(5x)\,dx e substituir u=\sin(5x) temos du proporcional a \cos(5x)\,dx, transformando a integral em um polinômio em u, que é simples de integrar. Também usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta
para trocar potências pares de cosseno por potências de seno.

Passo 3

Aplicando a ideia: escrevemos a integranda isolando um fator \cos(5x):
\sin^{4}5x\;\cos^{3}5x = \sin^{4}5x\;\cos^{2}5x\;\cos5x.
Usamos a identidade \cos^{2}5x=1-\sin^{2}5x. Assim
\sin^{4}5x\;\cos^{3}5x = \sin^{4}5x\,(1-\sin^{2}5x)\,\cos5x.

Passo 4

Fazemos a substituição \,u=\sin5x\,. Explico: a derivada de \sin5x em relação a x é dada pela regra da cadeia; primeiro a derivada de \sin t é \cos t, depois multiplica pela derivada de 5x que é 5. Logo
du = 5\cos5x\,dx \quad\Rightarrow\quad \cos5x\,dx=\frac{du}{5}.
Substituindo na integral:
\int \sin^{4}5x\;(1-\sin^{2}5x)\;\cos5x\,dx = \int u^{4}(1-u^{2})\cdot\frac{du}{5}.
Colocando constante fora,
\int \sin^{4}5x\;\cos^{3}5x\,dx = \frac{1}{5}\int (u^{4}-u^{6})\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo (regra: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1):
\frac{1}{5}\int (u^{4}-u^{6})\,du = \frac{1}{5}\left(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\right)+C.
Simplificando os fatores:
\frac{1}{5}\cdot\frac{u^{5}}{5}=\frac{u^{5}}{25},\qquad \frac{1}{5}\cdot\frac{u^{7}}{7}=\frac{u^{7}}{35}.

Passo 6

Voltando à variável original \,u=\sin5x:
\int \sin^{4}5x\;\cos^{3}5x\,dx = \frac{1}{25}\sin^{5}5x - \frac{1}{35}\sin^{7}5x + C.
Breve verificação (didática): se derivarmos essa primitiva pelo teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia, obtemos de volta \sin^{4}5x\cos^{3}5x, confirmando que a expressão está correta.

Resposta

\dfrac{1}{25}\sin^{5}5x-\dfrac{1}{35}\sin^{7}5x+C

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