Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A função integrada é um produto de potências de seno e cosseno com o mesmo argumento
. - As potências são
(par) e (ímpar). - Não há informação extra (como limites), portanto é uma primitiva indefinida, ou seja, a resposta terá uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia e motivo (explicação didática): quando temos um produto
com uma das potências ímpar (aqui
é ímpar), é conveniente separar um fator de
(ou de
, se a potência ímpar for a de
) para usar uma substituição do tipo
(ou
). A razão: ao separar um fator
e substituir
temos
proporcional a
, transformando a integral em um polinômio em
, que é simples de integrar. Também usamos a identidade trigonométrica
para trocar potências pares de cosseno por potências de seno.
Passo 3
Aplicando a ideia: escrevemos a integranda isolando um fator
:
Usamos a identidade
. Assim
Passo 4
Fazemos a substituição
. Explico: a derivada de
em relação a
é dada pela regra da cadeia; primeiro a derivada de
é
, depois multiplica pela derivada de
que é
. Logo
Substituindo na integral:
Colocando constante fora,
Passo 5
Integramos termo a termo (regra:
para
):
Simplificando os fatores:
Passo 6
Voltando à variável original
:
Breve verificação (didática): se derivarmos essa primitiva pelo teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia, obtemos de volta
, confirmando que a expressão está correta.