Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica produtos de seno e cosseno. Lembre que, para qualquer ângulo
,
Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos
Dessa igualdade segue a identidade útil
Isto é, produto de quadrados de seno e cosseno se transforma em quadrado do seno do dobro do ângulo, com fator
.
Passo 3
Aplicando essa identidade com
obtemos
Portanto a integral original vira
Passo 4
Para integrar
é conveniente usar a identidade de redução de potência:
válida para qualquer
. Tomando
tem-se
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Calculando as primitivais:
-
-
, porque a derivada de é .
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando
Usando
obtemos
, que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.