Calcule as integrais a seguir:
\int \cos ^{2} 3 y \operatorname{sen}^{2} 3 y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{2}(3y)\,\sin^{2}(3y)\,dy.
Informações dadas e objetivo:
  • A variável de integração é y.
  • A função a integrar é \cos^{2}(3y)\sin^{2}(3y).
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão F(y) tal que F'(y)=\cos^{2}(3y)\sin^{2}(3y), mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica produtos de seno e cosseno. Lembre que, para qualquer ângulo x,
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos
\sin^{2}(2x)=4\sin^{2}x\cos^{2}x.
Dessa igualdade segue a identidade útil
\sin^{2}x\cos^{2}x=\frac{1}{4}\sin^{2}(2x).
Isto é, produto de quadrados de seno e cosseno se transforma em quadrado do seno do dobro do ângulo, com fator 1/4.

Passo 3

Aplicando essa identidade com x=3y obtemos
\cos^{2}(3y)\sin^{2}(3y)=\frac{1}{4}\sin^{2}(6y).
Portanto a integral original vira
\int \cos^{2}(3y)\sin^{2}(3y)\,dy=\int \frac{1}{4}\sin^{2}(6y)\,dy=\frac{1}{4}\int \sin^{2}(6y)\,dy.

Passo 4

Para integrar \sin^{2}(6y) é conveniente usar a identidade de redução de potência:
\sin^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2},
válida para qualquer t. Tomando t=6y tem-se
\sin^{2}(6y)=\frac{1-\cos(12y)}{2}.
Substituindo na integral:
\frac{1}{4}\int \sin^{2}(6y)\,dy=\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos(12y)}{2}\,dy=\frac{1}{8}\int \bigl(1-\cos(12y)\bigr)\,dy.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\frac{1}{8}\int \bigl(1-\cos(12y)\bigr)\,dy=\frac{1}{8}\int 1\,dy-\frac{1}{8}\int \cos(12y)\,dy.
Calculando as primitivais:
  • \displaystyle \int 1\,dy = y.
  • \displaystyle \int \cos(12y)\,dy = \frac{1}{12}\sin(12y), porque a derivada de \sin(12y) é 12\cos(12y).
Portanto
\frac{1}{8}y-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12}\sin(12y)+C=\frac{y}{8}-\frac{1}{96}\sin(12y)+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y}{8}-\frac{1}{96}\sin(12y)\right)=\frac{1}{8}-\frac{1}{96}\cdot 12\cos(12y)=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos(12y)\bigr).
Usando \sin^{2}(6y)=\tfrac{1-\cos(12y)}{2} obtemos \frac{1}{8}(1-\cos(12y))=\frac{1}{4}\sin^{2}(6y)=\sin^{2}(3y)\cos^{2}(3y), que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{y}{8}-\frac{1}{96}\sin(12y)+C

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