Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral
Informações dadas:
A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, um
tal que
.
Passo 2
Primeiro vou simplificar o integrando transformando raízes em potências e dividindo por
. Lembrando que
. Então
Ao dividir potências de mesma base
, subtraímos os expoentes:
Portanto o integrando simplificado é
Passo 3
Vou usar duas propriedades básicas de integrais, que são essenciais e simples de lembrar:
- linearidade:
; - fator constante:
, para constante .
Aplicando-as, tenho
Passo 4
Agora aplico a regra da potência para integrais. A regra diz:
onde
é o expoente da potência e
é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato que, ao derivar
pelo teorema da diferenciação de potências, recuperamos
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
: aqui
, então
Passo 6
Agora o segundo termo:
. Aqui
, então
e
Lembre que temos o fator
fora da integral, logo
Passo 7
Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração
, obtenho a primitiva completa:
Como verificação rápida, posso derivar
: a derivada é
, que é exatamente o integrando simplificado.