Calcule as integrais a seguir
int \frac{x^{3}-2 \sqrt{x}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral
\int \frac{x^{3}-2 \sqrt{x}}{x}\,dx.
Informações dadas:
\text{numerador: }x^{3}-2\sqrt{x},\qquad \text{denominador: }x.
A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, um F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}-2\sqrt{x}}{x}.

Passo 2

Primeiro vou simplificar o integrando transformando raízes em potências e dividindo por x. Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
\frac{x^{3}-2\sqrt{x}}{x}=\frac{x^{3}-2x^{1/2}}{x}.
Ao dividir potências de mesma base x, subtraímos os expoentes:
\frac{x^{3}}{x}=x^{3-1}=x^{2},\qquad \frac{2x^{1/2}}{x}=2x^{1/2-1}=2x^{-1/2}.
Portanto o integrando simplificado é
x^{2}-2x^{-1/2}.

Passo 3

Vou usar duas propriedades básicas de integrais, que são essenciais e simples de lembrar:
  1. linearidade: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx;
  2. fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx, para constante a.
    Aplicando-as, tenho
\int \left(x^{2}-2x^{-1/2}\right)\,dx=\int x^{2}\,dx - 2\int x^{-1/2}\,dx.

Passo 4

Agora aplico a regra da potência para integrais. A regra diz:
\text{se }n\neq -1,\qquad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente da potência e C é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} pelo teorema da diferenciação de potências, recuperamos x^{n}.

Passo 5

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo \int x^{2}\,dx: aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Agora o segundo termo: \int x^{-1/2}\,dx. Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2} e
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}=2\sqrt{x}.
Lembre que temos o fator -2 fora da integral, logo
-2\int x^{-1/2}\,dx=-2\cdot\bigl(2\sqrt{x}\bigr)=-4\sqrt{x}.

Passo 7

Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, obtenho a primitiva completa:
\int \frac{x^{3}-2 \sqrt{x}}{x}\,dx=\frac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}+C.
Como verificação rápida, posso derivar \dfrac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}: a derivada é x^{2}-4\cdot\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=x^{2}-2x^{-1/2}, que é exatamente o integrando simplificado.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}+C

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