Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há limites de integração (ou seja, é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes podem ser puxadas para fora. Em fórmulas:
Aplicando aqui:
Agora vamos calcular cada uma dessas três integrais separadamente.
Passo 3
Cálculo de
. Usamos a regra da potência para integrais: para qualquer
,
Aqui
. Portanto
Expliquei por que: derivando
obtém-se
, então é uma primitiva correta.
Passo 4
Cálculo de
. A função constante
tem primitiva
, porque
. Logo
Passo 5
Cálculo de
. Aqui usamos um resultado padrão de derivadas/integrales: a função arco-tangente (ou
) tem derivada
Como a derivada de
é exatamente
, concluímos que uma primitiva é
. Portanto
Se quiser um lembrete rápido: pense que
é a função cuja taxa de variação produz o famoso
.
Passo 6
Agora somamos as primitivas obtidas em cada parcela (lembrando que podemos juntar as constantes num único
). Temos
Sempre é bom checar rapidamente: derivando
obtemos
, que é a integranda original — portanto está correto.