Calcule as integrais a seguir
int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a integranda é }x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}.é
Não há limites de integração (ou seja, é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes podem ser puxadas para fora. Em fórmulas:
\int (f(x)+g(x)+h(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int 1\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Agora vamos calcular cada uma dessas três integrais separadamente.

Passo 3

Cálculo de \int x^{2}\,dx. Usamos a regra da potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2. Portanto
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Expliquei por que: derivando \frac{x^{3}}{3} obtém-se x^{2}, então é uma primitiva correta.

Passo 4

Cálculo de \int 1\,dx. A função constante 1 tem primitiva x, porque \frac{d}{dx}x = 1. Logo
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Cálculo de \int \dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx. Aqui usamos um resultado padrão de derivadas/integrales: a função arco-tangente (ou \arctan) tem derivada
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big) = \frac{1}{1+x^{2}}.
Como a derivada de \arctan x é exatamente \dfrac{1}{x^{2}+1}, concluímos que uma primitiva é \arctan x. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Se quiser um lembrete rápido: pense que \arctan é a função cuja taxa de variação produz o famoso 1/(1+x^{2}).

Passo 6

Agora somamos as primitivas obtidas em cada parcela (lembrando que podemos juntar as constantes num único C). Temos
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x + \arctan x + C.
Sempre é bom checar rapidamente: derivando \frac{x^{3}}{3} + x + \arctan x obtemos x^{2} + 1 + \dfrac{1}{x^{2}+1}, que é a integranda original — portanto está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+x+\arctan x+C

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