Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
. Ou seja, devemos encontrar uma primitiva
tal que
. As informações dadas são: a integranda é
e a variável de integração é
. Não há outras restrições.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais. Formalmente,
Isto vale porque a operação de integração é linear:
para constantes
.
Passo 3
Vamos calcular a primitiva de
. Lembre que derivando
obtemos
Portanto, uma função cuja derivada é
é
, porque
Assim,
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora a primitiva de
. Primeiro a definição conveniente:
Integramos termo a termo:
Calculando as integrais das exponenciais:
Então
Mas
é a definição de
. Logo
Como verificação rápida, note que
.
Passo 5
Somando as duas primitivas obtidas e juntando as constantes de integração em uma única constante
, temos
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Podemos checar rapidamente: derivando
,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.