Calcule as integrais a seguir
int(\sin x+\operatorname{sinh} x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função \sin x + \operatorname{sinh} x. Ou seja, devemos encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\sin x+\operatorname{sinh} x. As informações dadas são: a integranda é \sin x + \operatorname{sinh} x e a variável de integração é x. Não há outras restrições.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais. Formalmente,
\int (\sin x + \operatorname{sinh} x)\,dx = \int \sin x\,dx + \int \operatorname{sinh} x\,dx.
Isto vale porque a operação de integração é linear: \int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx para constantes a,b.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva de \sin x. Lembre que derivando \cos x obtemos
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
Portanto, uma função cuja derivada é \sin x é -\cos x, porque
\frac{d}{dx}(-\cos x)= -\frac{d}{dx}\cos x = -(-\sin x)=\sin x.
Assim,
\int \sin x\,dx = -\cos x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 4

Agora a primitiva de \operatorname{sinh} x. Primeiro a definição conveniente:
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Integramos termo a termo:
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \int \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left(\int e^{x}\,dx - \int e^{-x}\,dx\right).
Calculando as integrais das exponenciais:
\int e^{x}\,dx = e^{x}+C,\qquad \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C.
Então
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \frac{1}{2}\big(e^{x} - (-e^{-x})\big) + C_2 = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} + C_2.
Mas \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} é a definição de \operatorname{cosh} x. Logo
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \operatorname{cosh} x + C_2.
Como verificação rápida, note que \frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x = \operatorname{sinh} x.

Passo 5

Somando as duas primitivas obtidas e juntando as constantes de integração em uma única constante C, temos
\int (\sin x + \operatorname{sinh} x)\,dx = (-\cos x + C_1) + (\operatorname{cosh} x + C_2) = -\cos x + \operatorname{cosh} x + C,
onde C=C_1+C_2 é uma constante arbitrária.

Passo 6

Podemos checar rapidamente: derivando F(x) = -\cos x + \operatorname{cosh} x + C,
F'(x) = -(-\sin x) + \operatorname{sinh} x = \sin x + \operatorname{sinh} x,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\cos x + \operatorname{cosh} x + C

Exercícios relacionados