Calcule as seguintes integrais:
\int_{-1}^{2}\left(6 x^{2}-x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(6x^{2}-x+1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é \;6x^{2}-x+1\;.
  • O intervalo de integração é de x=-1 até x=2.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades fundamentais que usaremos:
  1. Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas:
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
  1. Regra de potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui vamos aplicar essa regra aos termos x^{2} e x, e a integral de uma constante 1 é x.

Passo 3

Calcular antiderivadas termo a termo, usando a linearidade.
Para o termo \;6x^{2}\;:
\int 6x^{2}\,dx = 6\int x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{x^{3}}{3} = 2x^{3}.
Para o termo \;-x\;:
\int -x\,dx = -\int x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.
Para o termo \;1\;:
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Somando as antiderivadas obtemos uma primitiva F(x) da função integrada:
F(x)=2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+x.
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
\int_{-1}^{2}\left(6x^{2}-x+1\right)\,dx = F(2)-F(-1).

Passo 5

Avaliar F em x=2:
F(2)=2\cdot 2^{3}-\frac{2^{2}}{2}+2 = 2\cdot 8 - \frac{4}{2} + 2 = 16 - 2 + 2 = 16.
Avaliar F em x=-1:
F(-1)=2\cdot(-1)^{3}-\frac{(-1)^{2}}{2}+(-1) = 2\cdot(-1)-\frac{1}{2}-1 = -2 - \tfrac{1}{2} -1 = -3\tfrac{1}{2} = -\tfrac{7}{2}.

Passo 6

Calcular a diferença:
F(2)-F(-1)=16 - \left(-\tfrac{7}{2}\right)=16+\tfrac{7}{2}=\tfrac{32}{2}+\tfrac{7}{2}=\tfrac{39}{2}.

Resposta

\dfrac{39}{2}

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