Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas: os limites de integração são
(inferior) e
(superior); a função a ser integrada é a soma de duas parcelas
e
. O que se quer é o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Vamos usar duas propriedades básicas (vou explicar elas):
- Linearidade da integral: para funções
e e constantes ,
Isto permite separar a integral em duas integrais mais simples.
2) Regra da potência para primitivas: para ,
2) Regra da potência para primitivas: para
Aqui
é um número (expoente) e
é a constante de integração. Essa fórmula é o que usamos para encontrar antiderivadas de potências de
.
Passo 3
Aplicando a linearidade, escrevemos a integral como soma:
Agora calculamos as primitivas (antiderivadas) de cada parcela usando a regra da potência.
Para
: aqui
, então
Para
: aqui
, então
Multiplicando pelo fator
(que estava fora da integral) obtemos
Portanto uma antiderivada
da função integranda é
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para uma função contínua no intervalo
, a integral definida é dada por
onde
é qualquer antiderivada da integranda (a constante
cancela na diferença).
Passo 5
Calculamos
e
usando
.
Primeiro
:
Depois
:
Passo 6
Agora subtraímos para obter a integral definida:
Pronto — o resultado é
. Se ficou estranho ter resultado negativo, dá pra interpretar que a área algébrica (com sinal) acumulada entre
e
da função dada é negativa.