Calcule as integrais a seguir
int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações fornecidas: os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior); a função a ser integrada é a soma de duas parcelas \frac{1}{x^{2}} e -\frac{4}{x^{3}}. O que se quer é o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas (vou explicar elas):
  1. Linearidade da integral: para funções f e g e constantes a,b,
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto permite separar a integral em duas integrais mais simples.
2) Regra da potência para primitivas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é um número (expoente) e C é a constante de integração. Essa fórmula é o que usamos para encontrar antiderivadas de potências de x.

Passo 3

Aplicando a linearidade, escrevemos a integral como soma:
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx = \int_{1}^{2} x^{-2}\,dx - 4\int_{1}^{2} x^{-3}\,dx.
Agora calculamos as primitivas (antiderivadas) de cada parcela usando a regra da potência.
Para x^{-2}: aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C.
Para x^{-3}: aqui n=-3, então
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^{2}} + C.
Multiplicando pelo fator -4 (que estava fora da integral) obtemos
-4\int x^{-3}\,dx = -4\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right) = \frac{4}{2x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}.
Portanto uma antiderivada F(x) da função integranda é
F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + C.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para uma função contínua no intervalo [1,2], a integral definida é dada por
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx = F(2)-F(1),
onde F é qualquer antiderivada da integranda (a constante C cancela na diferença).

Passo 5

Calculamos F(2) e F(1) usando F(x) = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^{2}}.
Primeiro F(2):
F(2) = -\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.
Depois F(1):
F(1) = -\frac{1}{1} + \frac{2}{1^{2}} = -1 + 2 = 1.

Passo 6

Agora subtraímos para obter a integral definida:
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx = F(2)-F(1) = 0 - 1 = -1.
Pronto — o resultado é -1. Se ficou estranho ter resultado negativo, dá pra interpretar que a área algébrica (com sinal) acumulada entre 1 e 2 da função dada é negativa.

Resposta

-1

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