Calcule as integrais a seguir
int_{-1}^{1} t(1-t)^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} t(1-t)^{2}\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é t(1-t)^{2}.
  • O intervalo de integração é [-1,1].
  • O que se quer é o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão da integranda expandindo (1-t)^{2}. Lembre que
(1-t)^{2} = 1 - 2t + t^{2},
porque (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} com a=1 e b=t.

Passo 3

Multiplicamos t pela expansão:
t(1-t)^{2} = t(1 - 2t + t^{2}) = t - 2t^{2} + t^{3}.
Assim a integral vira soma de integrais mais simples:
\int_{-1}^{1} t(1-t)^{2}\,dt = \int_{-1}^{1} t\,dt - 2\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt + \int_{-1}^{1} t^{3}\,dt.
Aqui usamos a linearidade da integral: \int (a f + b g)= a\int f + b\int g.

Passo 4

Observação útil sobre simetria (muito prática em provas): funções ímpares satisfazem f(-x)=-f(x) e sua integral em intervalo simétrico [-A,A] é zero. Funções pares satisfazem f(-x)=f(x) e não cancelam necessariamente.
  • t é função ímpar, logo
\int_{-1}^{1} t\,dt = 0.
  • t^{3} também é ímpar, logo
\int_{-1}^{1} t^{3}\,dt = 0.
  • t^{2} é função par. Calculamos sua integral por antiderivada. A primitiva de t^{2} é \dfrac{t^{3}}{3}, pois a regra é \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Portanto
\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}.
Multiplicando pelo fator -2 que aparece na soma,
-2\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt = -2\cdot\frac{2}{3} = -\frac{4}{3}.

Passo 5

Somando as parcelas (lembrando que as integrais de t e t^{3} deram zero):
\int_{-1}^{1} t(1-t)^{2}\,dt = 0 - \frac{4}{3} + 0 = -\frac{4}{3}.

Passo 6

Cheque rápido calculando a primitiva do polinômio completo. Uma primitiva de t - 2t^{2} + t^{3} é
F(t)=\frac{t^{2}}{2} - \frac{2t^{3}}{3} + \frac{t^{4}}{4}.
Então
\int_{-1}^{1} t(1-t)^{2}\,dt = F(1)-F(-1).
Calculemos:
F(1)=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4},\qquad F(-1)=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4},
logo
F(1)-F(-1)=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)=-\frac{4}{3},
confirmando o resultado.

Resposta

-\dfrac{4}{3}

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