Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é
. - O que se quer é o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão da integranda expandindo
. Lembre que
porque
com
e
.
Passo 3
Multiplicamos
pela expansão:
Assim a integral vira soma de integrais mais simples:
Aqui usamos a linearidade da integral:
.
Passo 4
Observação útil sobre simetria (muito prática em provas): funções ímpares satisfazem
e sua integral em intervalo simétrico
é zero. Funções pares satisfazem
e não cancelam necessariamente.
-
é função ímpar, logo
-
também é ímpar, logo
-
é função par. Calculamos sua integral por antiderivada. A primitiva de é , pois a regra é para . Portanto
Multiplicando pelo fator
que aparece na soma,
Passo 5
Somando as parcelas (lembrando que as integrais de
e
deram zero):
Passo 6
Cheque rápido calculando a primitiva do polinômio completo. Uma primitiva de
é
Então
Calculemos:
logo
confirmando o resultado.