Calcule as integrais a seguir
int_{0}^{2}(2 x-3)\left(4 x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}(2x-3)\left(4x^{2}+1\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }(2x-3)(4x^{2}+1),\qquad \text{intervalo: }[0,2].
Pergunta clara: calcular o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem mistério): expandir o produto para transformar em um polinômio e integrar termo a termo usando a linearidade da integral e a regra da potência. Explico rapidinho as ferramentas que vou usar:
  • Linearidade da integral: para constantes a,b e funções f,g,
\int (a f + b g)=a\int f + b\int g.
  • Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Também usaremos que \int c\,dx=cx+C para constante c.
Isso é tudo — nada de fórmulas complicadas.

Passo 3

Multiplicamos o polinômio termo a termo para obter o integrando em forma expandida:
(2x-3)(4x^{2}+1)=2x\cdot 4x^{2}+2x\cdot 1-3\cdot 4x^{2}-3\cdot 1.
Calculando cada produto:
2x\cdot 4x^{2}=8x^{3},\qquad 2x\cdot 1=2x,\qquad -3\cdot 4x^{2}=-12x^{2},\qquad -3\cdot 1=-3.
Somando:
(2x-3)(4x^{2}+1)=8x^{3}-12x^{2}+2x-3.

Passo 4

Escrevemos a integral com o integrando expandido e aplicamos a linearidade:
\int_{0}^{2}(8x^{3}-12x^{2}+2x-3)\,dx =8\int_{0}^{2}x^{3}\,dx-12\int_{0}^{2}x^{2}\,dx+2\int_{0}^{2}x\,dx-3\int_{0}^{2}1\,dx.

Passo 5

Aplicamos a regra da potência termo a termo para obter uma primitiva F(x).
Cálculos:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx=x.
Multiplicando pelas constantes correspondentes:
8\cdot\frac{x^{4}}{4}=2x^{4},\qquad -12\cdot\frac{x^{3}}{3}=-4x^{3},\qquad 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2},\qquad -3\cdot x=-3x.

Passo 6

Portanto uma primitiva válida é
F(x)=2x^{4}-4x^{3}+x^{2}-3x.
Pela teoria das integrais definidas (teorema fundamental do cálculo), o valor da integral é F(2)-F(0).

Passo 7

Agora avaliamos a primitiva nos extremos (mostro os cálculos sem simplificar a diferença final, para deixar o resultado formalmente na seção de resposta):
F(2)=2\cdot 2^{4}-4\cdot 2^{3}+2^{2}-3\cdot 2,
F(0)=2\cdot 0^{4}-4\cdot 0^{3}+0^{2}-3\cdot 0.
Assim a integral vale F(2)-F(0).

Resposta

-2

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