Calcule as integrais a seguir
int \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t) d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)\,dt.
Informações dadas: a função a integrar é o produto \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t). Não há limites (é uma primitiva indefinida), então devemos fornecer a antiderivada geral, com constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: expandir o produto dentro da integral para trabalhar termo a termo. Temos
\operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)=\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t.
Então a integral fica
\int \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)\,dt=\int \operatorname{sec}^2 t\,dt+\int \operatorname{sec} t\tan t\,dt.

Passo 3

Agora uma pausa para relembrar duas derivadas trigonométricas essenciais (aqui eu explico por que elas valem isso, passo a passo):
Derivada de \tan t:
\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}.
Usando a regra do quociente,
\frac{d}{dt}\tan t=\frac{\cos t\cdot\cos t - \sin t\cdot(-\sin t)}{\cos^2 t} =\frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\cos^2 t}=\frac{1}{\cos^2 t}=\operatorname{sec}^2 t.
Explicando em linguagem simples: a conta do quociente dá \cos^2+\sin^2 no numerador, que vale 1, e sob \cos^2 1/\cos^2, que é \operatorname{sec}^2.
Derivada de \operatorname{sec} t:
\operatorname{sec} t=\frac{1}{\cos t}.
Usando a regra da cadeia (ou quociente),
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\frac{d}{dt}(\cos t)^{-1} = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t)=\frac{\sin t}{\cos^2 t}=\operatorname{sec} t\tan t.
Aqui a intuição: a derivada traz um \sin no numerador que combinado com \cos^2 \operatorname{sec}\cdot\tan.

Passo 4

Com essas fórmulas lembradas, vemos que cada integral termo a termo é imediata:
  • Para o primeiro termo, como sabemos que \dfrac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^2 t, concluímos que
\int \operatorname{sec}^2 t\,dt=\tan t + C_1,
onde C_1 é uma constante qualquer.
  • Para o segundo termo, como \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\operatorname{sec} t\tan t, temos
\int \operatorname{sec} t\tan t\,dt=\operatorname{sec} t + C_2,
onde C_2 é outra constante.
Eu mostrei cada uma dessas integrais usando a relação direta com derivadas conhecidas — isso é totalmente aplicável numa prova: reconhecer padrões de derivadas é muitas vezes o caminho mais rápido.

Passo 5

Juntando as duas primitivas obtidas para os termos (e lembrando que a soma de constantes é outra constante C), a primitiva da soma \operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t é a soma das primitivas dos termos individuais. Além disso, uma observação útil e curta que facilita lembrar isso na hora da prova: a derivada de \operatorname{sec} t+\tan t é exatamente
\frac{d}{dt}(\operatorname{sec} t+\tan t)=\operatorname{sec} t\tan t+\operatorname{sec}^2 t,
ou seja, a própria função dentro da integral. Portanto \operatorname{sec} t+\tan t é uma antiderivada da integranda. A expressão final com a constante de integração será apresentada na seção de resposta.

Resposta

\tan t+\operatorname{sec} t+C

Exercícios relacionados