Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é o produto
. Não há limites (é uma primitiva indefinida), então devemos fornecer a antiderivada geral, com constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: expandir o produto dentro da integral para trabalhar termo a termo. Temos
Então a integral fica
Passo 3
Agora uma pausa para relembrar duas derivadas trigonométricas essenciais (aqui eu explico por que elas valem isso, passo a passo):
Derivada de
:
Usando a regra do quociente,
Explicando em linguagem simples: a conta do quociente dá
no numerador, que vale 1, e sob
dá
, que é
.
Derivada de
:
Usando a regra da cadeia (ou quociente),
Aqui a intuição: a derivada traz um
no numerador que combinado com
dá
.
Passo 4
Com essas fórmulas lembradas, vemos que cada integral termo a termo é imediata:
- Para o primeiro termo, como sabemos que
, concluímos que
onde
é uma constante qualquer.
- Para o segundo termo, como
, temos
onde
é outra constante.
Eu mostrei cada uma dessas integrais usando a relação direta com derivadas conhecidas — isso é totalmente aplicável numa prova: reconhecer padrões de derivadas é muitas vezes o caminho mais rápido.
Passo 5
Juntando as duas primitivas obtidas para os termos (e lembrando que a soma de constantes é outra constante
), a primitiva da soma
é a soma das primitivas dos termos individuais. Além disso, uma observação útil e curta que facilita lembrar isso na hora da prova: a derivada de
é exatamente
ou seja, a própria função dentro da integral. Portanto
é uma antiderivada da integranda. A expressão final com a constante de integração será apresentada na seção de resposta.