Calcule as integrais a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Pergunta: calcular o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para separar termos. A propriedade diz que podemos somar integrais termo a termo e fatorar constantes. Assim,
Passo 3
Agora precisamos de antiderivadas (primitivas). Vou lembrar duas regras importantes:
- Regra do fator constante:
, onde é constante. - Regra da potência (power rule): para
,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração (não necessária para integral definida, pois vamos avaliar uma primitiva entre limites).
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo:
- Para
: fatoramos e usamos a regra da potência com :
- Para
: fatoramos e usamos a regra da potência com :
Note que no integrando original este termo é subtraído, então a primitiva correspondente será
.
- Para
: é uma constante, a primitiva é (porque para constante ).
Portanto uma primitiva
do integrando é
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de
a
é
. Calculo
e
:
Compute passo a passo:
Agora combine:
E
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (sanity check): derivando
obtemos
que é exatamente o integrando. Isso confirma que usamos a primitiva correta.