Calcule as integrais a seguir
int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-4 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-4 x+5\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }6 x^{2}-4 x+5,\quad \text{limites: }x=0\text{ até }x=2.é
Pergunta: calcular o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para separar termos. A propriedade diz que podemos somar integrais termo a termo e fatorar constantes. Assim,
\int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-4 x+5\right)\,dx = \int_{0}^{2}6 x^{2}\,dx - \int_{0}^{2}4 x\,dx + \int_{0}^{2}5\,dx.

Passo 3

Agora precisamos de antiderivadas (primitivas). Vou lembrar duas regras importantes:
  1. Regra do fator constante: \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, onde a é constante.
  2. Regra da potência (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração (não necessária para integral definida, pois vamos avaliar uma primitiva entre limites).

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo:
  • Para \int 6x^{2}\,dx: fatoramos 6 e usamos a regra da potência com n=2:
\int 6x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{x^{3}}{3}=2x^{3}.
  • Para \int 4x\,dx: fatoramos 4 e usamos a regra da potência com n=1:
\int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}.
Note que no integrando original este termo é subtraído, então a primitiva correspondente será -2x^{2}.
  • Para \int 5\,dx: é uma constante, a primitiva é 5x (porque \int a\,dx = ax para constante a).
Portanto uma primitiva F(x) do integrando é
F(x)=2x^{3}-2x^{2}+5x.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de 0 a 2 é F(2)-F(0). Calculo F(2) e F(0):
F(2)=2\cdot(2)^{3}-2\cdot(2)^{2}+5\cdot(2).
Compute passo a passo:
(2)^{3}=8,\quad 2\cdot8=16.
(2)^{2}=4,\quad 2\cdot4=8.
5\cdot2=10.
Agora combine:
F(2)=16-8+10=18.
E
F(0)=2\cdot0^{3}-2\cdot0^{2}+5\cdot0=0.
Portanto
\int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-4 x+5\right)\,dx=F(2)-F(0)=18-0=18.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): derivando F(x)=2x^{3}-2x^{2}+5x obtemos
F'(x)=6x^{2}-4x+5,
que é exatamente o integrando. Isso confirma que usamos a primitiva correta.

Resposta

18

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