Calcule as integrais a seguir:
\int e^{2 x} \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\cos(2x)\,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, aplicada duas vezes, seguido de um isolamento da própria integral para resolver a equação resultante.

Passo 2

Defina
I = \int e^{2x}\cos(2x)\,dx.
Aplique integração por partes escolhendo \mathrm{u}=e^{2x} e \mathrm{d}v=\cos(2x)\,dx.
Então \,du=2e^{2x}\,dx e \,v=\frac{\sin(2x)}{2}.
Logo
I = e^{2x}\,\frac{\sin(2x)}{2} - \int \frac{\sin(2x)}{2}\,2e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}\sin(2x)}{2} - \int e^{2x}\sin(2x)\,dx.

Passo 3

Chame
J = \int e^{2x}\sin(2x)\,dx.
Para J use partes de novo com \mathrm{u}=e^{2x} e \mathrm{d}v=\sin(2x)\,dx. Assim \,du=2e^{2x}\,dx e \,v=-\frac{\cos(2x)}{2}.
Portanto
J = -\frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} - \int \Bigl(-\frac{\cos(2x)}{2}\Bigr)\,2e^{2x}\,dx = -\frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} + \int e^{2x}\cos(2x)\,dx = -\frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} + I.

Passo 4

Volte à expressão de I:
I = \frac{e^{2x}\sin(2x)}{2} - J = \frac{e^{2x}\sin(2x)}{2} - \Bigl(-\frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} + I\Bigr) = \frac{e^{2x}\sin(2x)}{2} + \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} - I.
Isto dá
2I = \frac{e^{2x}}{2}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{2x}}{4}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr) + C.

Resposta

\int e^{2x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{2x}}{4}\bigl(\sin(2x) + \cos(2x)\bigr) + C.

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