\int x \sqrt{x^{2}+10} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x\sqrt{x^{2}+10}\,dx
O conteúdo é integração por substituição, pois vemos dentro da raiz uma função x^{2}+10 cuja derivada é proporcional a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 10,
logo
du = 2x\,dx
e portanto
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int x\sqrt{x^{2}+10}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{\tfrac12}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}u^{\tfrac32}.
Multiplicando pelo fator \tfrac12 que tínhamos, obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{\tfrac32} = \frac{1}{3}u^{\tfrac32} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+10:
\frac{1}{3}u^{\tfrac32} + C = \frac{1}{3}\bigl(x^{2}+10\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\int x\sqrt{x^{2}+10}\,dx = \frac{1}{3}\bigl(x^{2}+10\bigr)^{\tfrac32} + C.

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