\int \frac{d x}{x \cdot \cos ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{dx}{x\cos^2 x}
ou seja, calcular a primitiva de
\frac{1}{x\cos^2 x} = \frac{\operatorname{sec}^2 x}{x}.
O conteúdo envolve técnicas de integração (substituições e integração por partes) e investigação de existência de primitiva em termos de funções elementares.

Passo 2

Vamos tentar integração por partes. Tome
u = \frac{1}{x}, \quad dv = \operatorname{sec}^2 x\,dx.
Então
du = -\frac{1}{x^2}\,dx, \quad v = \tan x.
A integral original
I = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x}{x}\,dx
fica
I = uv - \int v\,du = \frac{\tan x}{x} - \int \tan x \Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\,dx = \frac{\tan x}{x} + \int \frac{\tan x}{x^2}\,dx.

Passo 3

Chame
J = \int \frac{\tan x}{x^2}\,dx.
Aplicando integração por partes em J, com
u = \tan x, \quad dv = x^{-2}dx
também retorna uma combinação de I e termos que se cancelam, levando de volta a I. Isso mostra que não há encerramento em funções elementares — o método gera uma identidade I=I.

Passo 4

Concluímos que não existe primitiva de \operatorname{sec}^2 x / x expressável por funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, etc.). Em geral, definimos uma função especial
F(x) = \int_{x_0}^{\,x} \frac{\operatorname{sec}^2 t}{t}\,dt
e escrevemos
\int \frac{dx}{x\cos^2 x} = F(x) + C.

Resposta

A integral não admite primitiva em termos de funções elementares. Em vez disso, define-se
\int \frac{dx}{x\cos^2 x} = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x}{x}\,dx = F(x) + C,
onde
F(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{\operatorname{sec}^2 t}{t}\,dt
é uma função especial.

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