Determine a integral de cada função abaixo int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}.
Informações dadas: a expressão integranda é \frac{1}{x^{2}-a^{2}} e a é uma constante (assumimos a\neq 0). Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Escolha do método: a expressão \,x^{2}-a^{2}\, é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada em dois fatores lineares. Quando o denominador se fatora em termos lineares distintos, o método de frações parciais é direto e rápido para integrar. Então vamos usar frações parciais.
Passo 3
Fatoramos o denominador e escrevemos a decomposição em frações parciais. Primeiro a fatoração:
Forma alternativa (útil em algumas situações): usando a função hiperbólica inversa \operatorname{artanh}. Se fizermos a substituição u=\dfrac{x}{a} e usar a identidade \operatorname{artanh}u=\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{1+u}{1-u}\right), obtém-se a forma equivalente
que é algebraicamente equivalente à expressão em forma de logaritmo mostrada antes (as diferenças de sinais e ordem dentro do log ficam resolvidas pelas barras de valor absoluto).
Passo 8
Exemplo rápido para fixar (caso a=1): seguindo os passos acima,