Determine a integral de cada função abaixo
int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}.
Informações dadas: a expressão integranda é \frac{1}{x^{2}-a^{2}} e a é uma constante (assumimos a\neq 0). Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Escolha do método: a expressão \,x^{2}-a^{2}\, é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada em dois fatores lineares. Quando o denominador se fatora em termos lineares distintos, o método de frações parciais é direto e rápido para integrar. Então vamos usar frações parciais.

Passo 3

Fatoramos o denominador e escrevemos a decomposição em frações parciais. Primeiro a fatoração:
x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
Proponho a decomposição
\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Determine A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-a)(x+a) obtemos
1 = A(x+a)+B(x-a).
Organizando por potências de x temos
1 = (A+B)\,x + (aA - aB).
Como o lado esquerdo não tem termo em x, igualamos coeficientes:
A+B=0,
aA - aB = 1.
Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
aA - a(-A)=a(2A)=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2a}.
Logo B=-\dfrac{1}{2a}.

Passo 5

Reescrevemos a integranda com os valores de A e B:
\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{x-a}-\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{x+a}.
Agora integramos termo a termo. Lembre que \displaystyle\int \frac{1}{x-c}\,dx=\ln|x-c|+C porque a derivada de \ln|x-c| é \frac{1}{x-c}. Assim
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\int\frac{dx}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{dx}{x+a}.

Passo 6

Calculando as integrais elementares:
\int\frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C_1,\qquad \int\frac{dx}{x+a}=\ln|x+a|+C_2.
Substituindo,
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|x-a|-\frac{1}{2a}\ln|x+a|+C.
Podemos combinar os logaritmos em um único logaritmo:
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C.

Passo 7

Forma alternativa (útil em algumas situações): usando a função hiperbólica inversa \operatorname{artanh}. Se fizermos a substituição u=\dfrac{x}{a} e usar a identidade \operatorname{artanh}u=\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{1+u}{1-u}\right), obtém-se a forma equivalente
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=-\frac{1}{a}\operatorname{artanh}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
que é algebraicamente equivalente à expressão em forma de logaritmo mostrada antes (as diferenças de sinais e ordem dentro do log ficam resolvidas pelas barras de valor absoluto).

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (caso a=1): seguindo os passos acima,
\int \frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C,
o que é a aplicação direta do resultado com a=1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C

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