Determine a integral de cada função abaixo int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}
Passo 1
Enunciado e o que se pede: calcular as integrais indefinidas
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}
e
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}.
Informações dadas e observações iniciais:
A variável de integração é x.
a é uma constante (assuma a>0, que é o caso padrão).
Para a segunda integral (com x^{2}-a^{2}) existe restrição de domínio: a expressão sob a raiz exige |x|>a para termos números reais.
O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) para cada caso, explicando passo a passo como chegar lá.
Passo 2
Escolha do método e por que ele funciona: substituições hiperbólicas.
Vou usar substituições com funções hiperbólicas porque elas transformam radicais do tipo \sqrt{x^{2}\pm a^{2}} em expressões simples graças à identidade hiperbólica
para \sqrt{x^{2}+a^{2}} usamos x=a\operatorname{sinh} u porque então \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a\operatorname{cosh} u;
para \sqrt{x^{2}-a^{2}} usamos x=a\operatorname{cosh} u (com \operatorname{cosh} u\ge1), porque então \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\operatorname{sinh} u.
Essas escolhas simplificam o integrando de forma direta. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Integral \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} — substituição x=a\operatorname{sinh} u.
Faça a substituição
x=a\operatorname{sinh} u.
Calcule dx:
dx=a\operatorname{cosh} u\,du,
porque \frac{d}{du}\operatorname{sinh} u=\operatorname{cosh} u.
Calcule a raiz usando a identidade hiperbólica:
\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}u+a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+1}=a\operatorname{cosh} u,
pois \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1 implica \operatorname{sinh}^{2}u+1=\operatorname{cosh}^{2}u e \operatorname{cosh} u\ge0.
Substitua no integrando:
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int \frac{a\operatorname{cosh} u\,du}{a\operatorname{cosh} u}=\int du.
Integre:
\int du = u + C.
Volte à variável x. Da substituição x=a\operatorname{sinh} u temos
(Usar ou não barras de valor absoluto é irrelevante aqui porque x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}>0 para todo x quando a>0, mas não faz mal escrever \ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|.)
Passo 4
Integral \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} — substituição x=a\operatorname{cosh} u.
Faça a substituição
x=a\operatorname{cosh} u,
válida para x\ge a (ou tomando u\ge0). Para o caso x\le -a pode-se usar simetrias e o resultado final com valor absoluto continua válido; o domínio real exige |x|>a.
Calcule dx:
dx=a\operatorname{sinh} u\,du,
porque \frac{d}{du}\operatorname{cosh} u=\operatorname{sinh} u.
Calcule a raiz:
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}u-a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}u-1}=a\operatorname{sinh} u,
onde usamos \operatorname{cosh}^{2}u-1=\operatorname{sinh}^{2}u e \operatorname{sinh} u\ge0 para u\ge0.
Substitua no integrando:
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\int \frac{a\operatorname{sinh} u\,du}{a\operatorname{sinh} u}=\int du.
Integre:
\int du = u + C.
Volte à variável x. Da substituição x=a\operatorname{cosh} u obtemos