Determine a integral de cada função abaixo
int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}

Passo 1

Enunciado e o que se pede: calcular as integrais indefinidas
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}
e
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é x.
  • a é uma constante (assuma a>0, que é o caso padrão).
  • Para a segunda integral (com x^{2}-a^{2}) existe restrição de domínio: a expressão sob a raiz exige |x|>a para termos números reais.
  • O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) para cada caso, explicando passo a passo como chegar lá.

Passo 2

Escolha do método e por que ele funciona: substituições hiperbólicas.
Vou usar substituições com funções hiperbólicas porque elas transformam radicais do tipo \sqrt{x^{2}\pm a^{2}} em expressões simples graças à identidade hiperbólica
\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1.
As funções hiperbólicas relevantes são definidas por
\operatorname{sinh} u=\frac{e^{u}-e^{-u}}{2},\qquad \operatorname{cosh} u=\frac{e^{u}+e^{-u}}{2}.
Duas substituições padrão:
  • para \sqrt{x^{2}+a^{2}} usamos x=a\operatorname{sinh} u porque então \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a\operatorname{cosh} u;
  • para \sqrt{x^{2}-a^{2}} usamos x=a\operatorname{cosh} u (com \operatorname{cosh} u\ge1), porque então \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\operatorname{sinh} u.
    Essas escolhas simplificam o integrando de forma direta. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Integral \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} — substituição x=a\operatorname{sinh} u.
  1. Faça a substituição
x=a\operatorname{sinh} u.
  1. Calcule dx:
dx=a\operatorname{cosh} u\,du,
porque \frac{d}{du}\operatorname{sinh} u=\operatorname{cosh} u.
  1. Calcule a raiz usando a identidade hiperbólica:
\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}u+a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+1}=a\operatorname{cosh} u,
pois \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1 implica \operatorname{sinh}^{2}u+1=\operatorname{cosh}^{2}u e \operatorname{cosh} u\ge0.
  1. Substitua no integrando:
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int \frac{a\operatorname{cosh} u\,du}{a\operatorname{cosh} u}=\int du.
  1. Integre:
\int du = u + C.
  1. Volte à variável x. Da substituição x=a\operatorname{sinh} u temos
u=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{a}\right).
Portanto
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
  1. Fórmula alternativa em termos de logaritmo (útil na prova): a função \operatorname{arsinh}t pode ser escrita como
\operatorname{arsinh}t=\ln\!\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr).
Aplicando com t=\dfrac{x}{a} obtemos
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)=\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right).
Como \ln\!\left(\dfrac{\cdot}{a}\right)=\ln(\cdot)-\ln a e a constante -\ln a pode ser absorvida em C, a forma mais usada é
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)+C.
(Usar ou não barras de valor absoluto é irrelevante aqui porque x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}>0 para todo x quando a>0, mas não faz mal escrever \ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|.)

Passo 4

Integral \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} — substituição x=a\operatorname{cosh} u.
  1. Faça a substituição
x=a\operatorname{cosh} u,
válida para x\ge a (ou tomando u\ge0). Para o caso x\le -a pode-se usar simetrias e o resultado final com valor absoluto continua válido; o domínio real exige |x|>a.
  1. Calcule dx:
dx=a\operatorname{sinh} u\,du,
porque \frac{d}{du}\operatorname{cosh} u=\operatorname{sinh} u.
  1. Calcule a raiz:
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}u-a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}u-1}=a\operatorname{sinh} u,
onde usamos \operatorname{cosh}^{2}u-1=\operatorname{sinh}^{2}u e \operatorname{sinh} u\ge0 para u\ge0.
  1. Substitua no integrando:
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\int \frac{a\operatorname{sinh} u\,du}{a\operatorname{sinh} u}=\int du.
  1. Integre:
\int du = u + C.
  1. Volte à variável x. Da substituição x=a\operatorname{cosh} u obtemos
u=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{a}\right).
Assim
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
  1. Forma em logaritmo: para t\ge1 vale
\operatorname{arcosh}t=\ln\!\bigl(t+\sqrt{t^{2}-1}\bigr).
Tomando t=\dfrac{x}{a} resulta
\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}\right)=\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right).
Absorvendo -\ln a em C obtemos a forma usual
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|+C,
válida para |x|>a.

Passo 5

Verificação rápida (derivando para conferir): é útil checar diferenciando a forma logarítmica. Por exemplo, para a primeira integral:
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr) =\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}} =\frac{\dfrac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}}{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}},
confirmação completa. A segunda é verificada de modo análogo (respeitando o domínio |x|>a).

Resposta

\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)+C\n \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|+C

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