Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. A integral é indefinida (não há limites), então o resultado será uma família de primitivais com constante de integração
.
Passo 2
Princípio importante que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que, para números reais
e funções
,
Explicando: podemos separar a integral de uma soma em somas de integrais, e fatores constantes saem da integral. Isso facilita bastante — em vez de integrar tudo de uma vez, integramos pedaços simples.
Passo 3
Regra básica que também vamos usar: a regra da potência para integrais. Para todo número real
,
Aqui
é o expoente da potência; o resultado eleva
em uma unidade no expoente e divide por esse novo expoente. Um caso especial e muito usado: para
(ou seja,
), obtemos
Outra integral básica que usamos é
pois integrar a função constante
dá a função identidade
.
Passo 4
Aplicando a linearidade à nossa integral:
Aqui simplesmente separamos a soma e tiramos os coeficientes
e
para fora das integrais.
Passo 5
Agora usamos as regras da potência e da constante:
Somando as duas partes obtemos uma primitiva da função.
Passo 6
Não esqueça da constante de integração. A primitiva geral é a soma das partes mais
, então uma antiderivada é
Verificação rápida (boa prática): derivando esse resultado obtemos
que é exatamente o integrando — bingo!