Calcule as integrais a seguir:
\int(3 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(3x+2)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é 3x+2. A integral é indefinida (não há limites), então o resultado será uma família de primitivais com constante de integração C.

Passo 2

Princípio importante que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que, para números reais a,b e funções f(x),g(x),
\int\bigl(a\,f(x)+b\,g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Explicando: podemos separar a integral de uma soma em somas de integrais, e fatores constantes saem da integral. Isso facilita bastante — em vez de integrar tudo de uma vez, integramos pedaços simples.

Passo 3

Regra básica que também vamos usar: a regra da potência para integrais. Para todo número real n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente da potência; o resultado eleva x em uma unidade no expoente e divide por esse novo expoente. Um caso especial e muito usado: para n=1 (ou seja, \int x\,dx), obtemos
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Outra integral básica que usamos é
\int 1\,dx = x + C,
pois integrar a função constante 1 dá a função identidade x.

Passo 4

Aplicando a linearidade à nossa integral:
\int(3x+2)\,dx = 3\int x\,dx + 2\int 1\,dx.
Aqui simplesmente separamos a soma e tiramos os coeficientes 3 e 2 para fora das integrais.

Passo 5

Agora usamos as regras da potência e da constante:
3\int x\,dx = 3\left(\frac{x^{2}}{2}\right) = \frac{3}{2}x^{2},
2\int 1\,dx = 2(x) = 2x.
Somando as duas partes obtemos uma primitiva da função.

Passo 6

Não esqueça da constante de integração. A primitiva geral é a soma das partes mais C, então uma antiderivada é
\frac{3}{2}x^{2}+2x + C.
Verificação rápida (boa prática): derivando esse resultado obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{2}+2x+C\right) = 3x+2,
que é exatamente o integrando — bingo!

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}+2x+C

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