CALCULE A INTEGRAL DEFINIDA:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função integranda é
.
Nada mais é fornecido; vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 2
Observação sobre a forma da integral e escolha da substituição (sem formalizar teoria complicada ainda): a presença de
sugere usar a mudança de variável que torne essa raiz uma potência simples. Uma escolha natural é
Agora vamos calcular o diferencial correspondente e ver como transformar todo o integrando e os limites.
Passo 3
Derivando a substituição: se
, então
Isto significa que
. Também expressamos potências de
em função de
: como
, temos
Como o integrando contém
, podemos escrever
.
Passo 4
Troca completa de variável na integral. Substituímos
por
, e
por
. Além disso, os limites mudam: quando
,
; quando
,
. Assim a integral vira
Passo 5
Expandir o integrando para facilitar a integração termo a termo. Primeiro desenvolvemos
:
Multiplicando por
temos
Portanto
Passo 6
Usamos a regra básica de potenciação para integrais: para
,
Aplicando termo a termo:
Substituindo na expressão com o fator
:
Assim um antiderivado é
Passo 7
Avaliar o antiderivado entre
e
:
Calculemos as potências de
:
Portanto
e
Passo 8
Simplificamos cada parte. Para a parte com
:
Colocando sobre o denominador comum
:
logo o coeficiente fica
Assim a parte com
é
.
Para a parte constante:
usando denominador
dá
Passo 9
Combinando
obtemos
Fatorando
para deixar mais compacto: