CALCULE A INTEGRAL DEFINIDA:
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} x^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\, x^{5}\, dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
  • A função integranda é f(x)=\sqrt{1+x^{2}}\, x^{5}.
    Nada mais é fornecido; vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 2

Observação sobre a forma da integral e escolha da substituição (sem formalizar teoria complicada ainda): a presença de \sqrt{1+x^{2}} sugere usar a mudança de variável que torne essa raiz uma potência simples. Uma escolha natural é
u = 1 + x^{2}.
Agora vamos calcular o diferencial correspondente e ver como transformar todo o integrando e os limites.

Passo 3

Derivando a substituição: se u = 1 + x^{2}, então
du = 2x\, dx.
Isto significa que x\, dx = \dfrac{du}{2}. Também expressamos potências de x em função de u: como x^{2} = u-1, temos
x^{4} = (x^{2})^{2} = (u-1)^{2}.
Como o integrando contém x^{5}\,dx, podemos escrever x^{5}\,dx = x^{4}\cdot x\,dx = (u-1)^{2}\cdot \dfrac{du}{2}.

Passo 4

Troca completa de variável na integral. Substituímos \sqrt{1+x^{2}} por \sqrt{u}=u^{1/2}, e x^{5}\,dx por (u-1)^{2}\dfrac{du}{2}. Além disso, os limites mudam: quando x=0, u=1+0^{2}=1; quando x=1, u=1+1^{2}=2. Assim a integral vira
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\, x^{5}\, dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}(u-1)^{2}\, du.

Passo 5

Expandir o integrando para facilitar a integração termo a termo. Primeiro desenvolvemos (u-1)^{2}:
(u-1)^{2} = u^{2} - 2u + 1.
Multiplicando por u^{1/2} temos
u^{1/2}(u-1)^{2} = u^{1/2}\bigl(u^{2}-2u+1\bigr) = u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}.
Portanto
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}(u-1)^{2}\, du = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} \bigl(u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}\bigr)\, du.

Passo 6

Usamos a regra básica de potenciação para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo:
\int u^{5/2}\, du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}u^{7/2}, \quad \int u^{3/2}\, du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}, \quad \int u^{1/2}\, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Substituindo na expressão com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{2}{7}u^{7/2} - 2\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2}\Bigr) = \frac{1}{7}u^{7/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{1}{3}u^{3/2}.
Assim um antiderivado é
F(u)=\frac{1}{7}u^{7/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{1}{3}u^{3/2}.

Passo 7

Avaliar o antiderivado entre u=1 e u=2:
\int_{1}^{2} \ldots = F(2)-F(1).
Calculemos as potências de 2:
2^{1/2}=\sqrt{2},\quad 2^{3/2}=2\sqrt{2},\quad 2^{5/2}=4\sqrt{2},\quad 2^{7/2}=8\sqrt{2}.
Portanto
F(2)=\frac{1}{7}\,8\sqrt{2} - \frac{2}{5}\,4\sqrt{2} + \frac{1}{3}\,2\sqrt{2}
e
F(1)=\frac{1}{7}\cdot 1 - \frac{2}{5}\cdot 1 + \frac{1}{3}\cdot 1.

Passo 8

Simplificamos cada parte. Para a parte com \sqrt{2}:
\frac{8}{7}\sqrt{2} - \frac{8}{5}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2} = \Bigl(\frac{8}{7} - \frac{8}{5} + \frac{2}{3}\Bigr)\sqrt{2}.
Colocando sobre o denominador comum 105:
\frac{8}{7}=\frac{120}{105},\quad \frac{8}{5}=\frac{168}{105},\quad \frac{2}{3}=\frac{70}{105},
logo o coeficiente fica
\frac{120-168+70}{105}=\frac{22}{105}.
Assim a parte com \sqrt{2} é \dfrac{22}{105}\sqrt{2}.
Para a parte constante:
\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}
usando denominador 105
\frac{15-42+35}{105}=\frac{8}{105}.

Passo 9

Combinando F(2)-F(1) obtemos
\frac{22}{105}\sqrt{2} - \frac{8}{105}.
Fatorando \dfrac{2}{105} para deixar mais compacto:
\frac{2}{105}\bigl(11\sqrt{2}-4\bigr).

Resposta

\dfrac{2}{105}\bigl(11\sqrt{2}-4\bigr)

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