Verifique se os conjuntos
a seguir são subanéis de
:
Passo 1
O enunciado pede: verificar se o conjunto
é um subanel de
.
Informações dadas: o universo é o anel com adição e multiplicação usuais, e o conjunto em questão é
.
Informações dadas: o universo é o anel
Passo 2
Antes de começar a testar, vamos clarificar o que é exactamente
.
Definição: .
Exemplos elementares: ,
,
.
Definição:
Exemplos elementares:
Passo 3
Agora precisamos do que significa ser um subanel. Existem duas convenções comuns em álgebra:
- Definição sem exigir unidade: um subconjunto não vazio
é subanel se for fechado por subtração (ou seja, fechado por adição e contém inversos aditivos) e fechado por multiplicação. Em termos práticos bastam: (i) , (ii) se então , (iii) se então . - Definição com exigência de unidade: além das propriedades acima, exige-se que
(ou seja, o subanel compartilha a mesma unidade do anel ambient). Nem todos os autores usam essa exigência; muitas aulas usam a Definição 1.
Vou verificar
para as propriedades da Definição 1 (mais usada em provas básicas) e depois para a condição extra da Definição 2, para cobrir ambos os casos.
Passo 4
Verificação da propriedade de não vazio / presença do elemento neutro aditivo:
Mostramos que porque
. Assim
é não vazio e contém o neutro aditivo.
Mostramos que
Passo 5
Fechamento por adição (que implica também fechamento por subtração se tivermos inversos):
Tomemos . Então existem
tais que
e
.
A soma é
Tomemos
A soma é
Como
, segue que
. Portanto
é fechado por adição.
Passo 6
Fechamento por inverso aditivo / subtração:
Com e
como acima, a diferença é
Com
Como
, temos
. Em particular, o inverso aditivo de
é
. Logo está fechado por subtração.
Passo 7
Fechamento por multiplicação:
Ainda com e
,
Ainda com
Como
, segue
. Portanto
é fechado por multiplicação.
Passo 8
Conclusão segundo a Definição 1 (sem exigir unidade):
Vimos que é não vazio, fechado por subtração e fechado por multiplicação. Portanto, segundo a definição de subanel que não exige preservação da unidade,
é um subanel de
.
Vimos que
Passo 9
Verificação da condição extra (Definição 2): exigência de conter a unidade
:
Perguntamos se . Se
estivesse em
haveria um inteiro
tal que
. Isso implicaria
, o que é impossível. Portanto
. Assim, sob a definição que exige que o subanel contenha a mesma unidade
,
não é subanel.
Perguntamos se
Passo 10
Comentário prático para a prova (dica amiga):
- Se a sua prova usa a definição padrão em muitas disciplinas de álgebra elementar (fechamento por subtração e multiplicação), responda que
é subanel — e mostre as pequenas contas de fechamento por soma, subtração e produto. - Se o enunciado explicitamente pede “subanel com unidade” ou se na sua turma subanel sempre significa “subanel unital”, então responda que não é, porque falta
.
Resposta
Sim,
é subanel de
se adotarmos a definição que não exige conter
.
Não, não é subanel de
se exigirmos que o subanel contenha a unidade
.
Não,