Verifique se os conjuntos A a seguir são subanéis de (\mathbb{Z},+, \cdot) :
3 \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede: verificar se o conjunto 3\mathbb{Z} é um subanel de (\mathbb{Z},+,\cdot).
Informações dadas: o universo é o anel \mathbb{Z} com adição e multiplicação usuais, e o conjunto em questão é 3\mathbb{Z}=\{\,3k\mid k\in\mathbb{Z}\,\}.

Passo 2

Antes de começar a testar, vamos clarificar o que é exactamente 3\mathbb{Z}.
Definição: 3\mathbb{Z}=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n=3k\text{ para algum }k\in\mathbb{Z}\,\}.
Exemplos elementares: 0=3\cdot0\in3\mathbb{Z}, 3=3\cdot1\in3\mathbb{Z}, -6=3\cdot(-2)\in3\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora precisamos do que significa ser um subanel. Existem duas convenções comuns em álgebra:
  1. Definição sem exigir unidade: um subconjunto não vazio S\subseteq\mathbb{Z} é subanel se for fechado por subtração (ou seja, fechado por adição e contém inversos aditivos) e fechado por multiplicação. Em termos práticos bastam: (i) 0\in S, (ii) se a,b\in S então a-b\in S, (iii) se a,b\in S então ab\in S.
  2. Definição com exigência de unidade: além das propriedades acima, exige-se que 1\in S (ou seja, o subanel compartilha a mesma unidade do anel ambient). Nem todos os autores usam essa exigência; muitas aulas usam a Definição 1.
Vou verificar 3\mathbb{Z} para as propriedades da Definição 1 (mais usada em provas básicas) e depois para a condição extra da Definição 2, para cobrir ambos os casos.

Passo 4

Verificação da propriedade de não vazio / presença do elemento neutro aditivo:
Mostramos que 0\in3\mathbb{Z} porque 0=3\cdot0. Assim 3\mathbb{Z} é não vazio e contém o neutro aditivo.

Passo 5

Fechamento por adição (que implica também fechamento por subtração se tivermos inversos):
Tomemos a,b\in3\mathbb{Z}. Então existem k,\ell\in\mathbb{Z} tais que a=3k e b=3\ell.
A soma é
a+b=3k+3\ell=3(k+\ell).
Como k+\ell\in\mathbb{Z}, segue que a+b\in3\mathbb{Z}. Portanto 3\mathbb{Z} é fechado por adição.

Passo 6

Fechamento por inverso aditivo / subtração:
Com a=3k e b=3\ell como acima, a diferença é
a-b=3k-3\ell=3(k-\ell).
Como k-\ell\in\mathbb{Z}, temos a-b\in3\mathbb{Z}. Em particular, o inverso aditivo de a é -a=3(-k)\in3\mathbb{Z}. Logo está fechado por subtração.

Passo 7

Fechamento por multiplicação:
Ainda com a=3k e b=3\ell,
ab=(3k)(3\ell)=9k\ell=3(3k\ell).
Como 3k\ell\in\mathbb{Z}, segue ab\in3\mathbb{Z}. Portanto 3\mathbb{Z} é fechado por multiplicação.

Passo 8

Conclusão segundo a Definição 1 (sem exigir unidade):
Vimos que 3\mathbb{Z} é não vazio, fechado por subtração e fechado por multiplicação. Portanto, segundo a definição de subanel que não exige preservação da unidade, 3\mathbb{Z} é um subanel de \mathbb{Z}.

Passo 9

Verificação da condição extra (Definição 2): exigência de conter a unidade 1:
Perguntamos se 1\in3\mathbb{Z}. Se 1 estivesse em 3\mathbb{Z} haveria um inteiro k tal que 1=3k. Isso implicaria 3\mid1, o que é impossível. Portanto 1\notin3\mathbb{Z}. Assim, sob a definição que exige que o subanel contenha a mesma unidade 1, 3\mathbb{Z} não é subanel.

Passo 10

Comentário prático para a prova (dica amiga):
  • Se a sua prova usa a definição padrão em muitas disciplinas de álgebra elementar (fechamento por subtração e multiplicação), responda que 3\mathbb{Z} é subanel — e mostre as pequenas contas de fechamento por soma, subtração e produto.
  • Se o enunciado explicitamente pede “subanel com unidade” ou se na sua turma subanel sempre significa “subanel unital”, então responda que não é, porque falta 1.

Resposta

Sim, 3\mathbb{Z} é subanel de \mathbb{Z} se adotarmos a definição que não exige conter 1.
Não, 3\mathbb{Z} não é subanel de \mathbb{Z} se exigirmos que o subanel contenha a unidade 1.

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