Desenhe a região limitada pelas curvas. Represente a área da região por uma ou mais integrais (a) em termos de x; (b) em termos de y.
y=x^2, y=x+2

Passo 1

A gente tem duas curvas: a parábola y=x^2 e a reta y=x+2. O que o enunciado pede é desenhar a região que elas delimitam e escrever a área dessa região como integrais (uma em função de x e outra em função de y). O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar achar interseções, identificar quem é a função de cima/baixo (para o caso dx) e inverter as funções (para o caso dy).

Passo 2

Para saber onde as duas curvas se encontram, igualamos x^2 = x+2. Isso dá
x^2 - x - 2 = 0 Longrightarrow (x-2)(x+1)=0 Longrightarrow x=-1;ou;x=2

Passo 3

Substituindo em qualquer das equações, obtemos os pontos de interseção (-1,1) e (2,4).

Passo 4

No método em x, consideramos fatias verticais: para cada x entre -1 e 2, a reta está acima da parábola. Logo a área é
A = integralx=-1^2 l[(x+2) - x^2r] ,dx

Passo 5

No método em y, usamos fatias horizontais: invertendo as curvas, da parábola vem x=raizy (ramo positivo) e da reta vem x=y-2. Os valores de y vão de 1 a 4. Em cada fatia horizontal, a abscissa da reta (y-2) é menor que a da parábola raizy, então
A = integraly=1^4 l[raizy - (y-2)r] ,dy

Resposta

Em termos de x:
A = integral-1^2 l[(x+2) - x^2r] ,dx
Em termos de y:
A = integral1^4 l[raizy - (y-2)r] ,dy

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