Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos no denominador. Isso sugere que podemos usar a substituição , porque , e isso vai simplificar a raiz quadrada.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é .
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Cancelando termos semelhantes:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Sabemos que a integral de é . Então:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então .
Portanto:
Podemos simplificar $ -2\ln{2} + C $ em uma constante, então: