Calcule as integrais a seguir:
integral 4x raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de 4x raiz4 - x^2 em relação a x. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos raiz4 - x^2 no denominador. Isso sugere que podemos usar a substituição x = 2sintheta, porque 1 - sin^2theta = cos^2theta, e isso vai simplificar a raiz quadrada.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = 2sintheta. Então, a derivada de x em relação a theta é dx = 2costheta dtheta.

Passo 4

Substituindo x na integral, temos:
integral 4x raiz4 - x^2 dx = integral 42sintheta raiz4 - 4sin^2theta cdot 2costheta dtheta

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz4 - 4sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = 2costheta
Então, a integral fica:
integral 42sintheta cdot 2costheta cdot 2costheta dtheta = integral 44sinthetacostheta cdot 2costheta dtheta

Passo 6

Cancelando termos semelhantes:
44sinthetacostheta cdot 2costheta = 1sintheta cdot 2costheta = 2costhetasintheta = 2cottheta
Então, a integral agora é:
integral 2cottheta dtheta

Passo 7

Sabemos que a integral de cottheta é ln|sintheta| + C. Então:
integral 2cottheta dtheta = 2ln|sintheta| + C

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 2sintheta, então sintheta = x2.
Portanto:
2ln|x2| + C = 2ln|x| - 2ln2 + C
Podemos simplificar $ -2\ln{2} + C $ em uma constante, então:
-2ln2 + C

Resposta

A integral de 4x raiz4 - x^2 dx é:
2ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

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