Calcule os limites. Use preferencialmente o limite fundamental
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente limites. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos limites e também aquela base fundamental que diz que
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece no numerador e no denominador quando
se aproxima de 0. No numerador temos
e no denominador
. Se substituirmos
, tanto o numerador quanto o denominador ficam 0, resultando em uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos de outra estratégia para resolver esse limite, como a série de Taylor ou a regra de L’Hôpital. Vamos utilizar a série de Taylor para simplificar as expressões.
Passo 3
Vamos expandir
e
em séries de Taylor em torno de 0:
Agora, substituímos essas expansões na nossa expressão original.
Passo 4
Substituindo no numerador:
E no denominador:
Passo 5
Agora, reescrevemos o limite com essas expansões:
Percebemos que quando
tende a 0, os termos de ordem superior (
,
, etc.) se tornam muito pequenos e podemos ignorá-los para simplificar.
Passo 6
Simplificando as expressões:
No numerador, ao , temos:
No numerador, ao
No denominador:
Então, o limite fica aproximadamente:
Aqui, novamente, quando
tende a 0, o termo
no numerador domina, mas isso nos mostra que precisamos refinar nossa abordagem, pois termos constantes estão interferindo.
Passo 7
Como estamos enfrentando uma forma indeterminada, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se
ou
, então:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 8
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Então, aplicando a regra de L’Hôpital, o limite se torna:
Passo 9
Agora, substituímos
nas derivadas:
Resposta
O limite é
.