Calcule os limites. Use preferencialmente o limite fundamental lim x 0 sen(x)x=1.
lim x 0 x-cos (x)x+sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 x - cos(x)x + sin(x). A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente limites. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos limites e também aquela base fundamental que diz que lim x 0 sin(x)x = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece no numerador e no denominador quando x se aproxima de 0. No numerador temos x - cos(x) e no denominador x + sin(x). Se substituirmos x = 0, tanto o numerador quanto o denominador ficam 0, resultando em uma forma indeterminada 00. Isso significa que precisamos de outra estratégia para resolver esse limite, como a série de Taylor ou a regra de L’Hôpital. Vamos utilizar a série de Taylor para simplificar as expressões.

Passo 3

Vamos expandir cos(x) e sin(x) em séries de Taylor em torno de 0:
cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots
sin(x) = x - x^36 + x^5120 - dots
Agora, substituímos essas expansões na nossa expressão original.

Passo 4

Substituindo no numerador:
x - cos(x) = x - (1 - x^22 + x^424 - dots) = x - 1 + x^22 - x^424 + dots
E no denominador:
x + sin(x) = x + (x - x^36 + x^5120 - dots) = 2x - x^36 + x^5120 - dots

Passo 5

Agora, reescrevemos o limite com essas expansões:
lim x 0 x - cos(x)x + sin(x) = lim x 0 x - 1 + x^22 - x^424 + dots2x - x^36 + x^5120 - dots
Percebemos que quando x tende a 0, os termos de ordem superior ( x^2, x^3, etc.) se tornam muito pequenos e podemos ignorá-los para simplificar.

Passo 6

Simplificando as expressões:
No numerador, ao x 0, temos:
x - 1 + x^22 approx -1 + x + x^22
No denominador:
2x - x^36 approx 2x
Então, o limite fica aproximadamente:
lim x 0 -1 + x + x^222x
Aqui, novamente, quando x tende a 0, o termo -1 no numerador domina, mas isso nos mostra que precisamos refinar nossa abordagem, pois termos constantes estão interferindo.

Passo 7

Como estamos enfrentando uma forma indeterminada, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 8

Derivando o numerador f(x) = x - cos(x):
f'(x) = 1 + sin(x)
Derivando o denominador g(x) = x + sin(x):
g'(x) = 1 + cos(x)
Então, aplicando a regra de L’Hôpital, o limite se torna:
lim x 0 1 + sin(x)1 + cos(x)

Passo 9

Agora, substituímos x = 0 nas derivadas:
1 + sin(0)1 + cos(0) = 1 + 01 + 1 = 12

Resposta

O limite é 12.

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