Calcule os limites abaixo. (use preferencialmente o teorema do confronto e suas consequências)
lim x -infty e^x ln (sen(x)+2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado: calcular limxto -infty e^x ln(sin(x)+2). O conteúdo é limites envolvendo produtos e vamos usar o Teorema do Confronto, já que sin(x)+2 oscila mas é limitada. Para resolver, precisamos reconhecer que e^xto0 quando xto-infty e que ln(sin(x)+2) fica entre constantes.

Passo 2

Observação da função dentro do log: como sin(x) varia entre -1 e 1, temos
1 <= sin(x)+2 <= 3
e portanto
0 = ln(1) <= ln(sin(x)+2) <= ln(3)
Isso mostra que ln(sin(x)+2) é uma função limitada e sempre não-negativa.

Passo 3

Agora multiplicamos essas desigualdades por e^x, que é positivo para todo x. Assim,
0 <= e^x ln(sin(x)+2) <= e^x ln(3)

Passo 4

Como sabemos que limxto -infty e^x = 0, temos também limxto -infty e^x ln(3) = 0. Pelo Teorema do Confronto, a função presa entre 0 e e^x ln(3) também converge para 0.

Resposta

0

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