Calcule as integrais a seguir.
integral 5 x^5+10 x^4+x^3+5 x^2+4 x+5x^3+2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral 5 x^5+10 x^4+x^3+5 x^2+4 x+5x^3+2 x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a fração e depois aplicar a técnica de frações parciais para integrar a parte que sobra.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial dos polinômios 5x^5+10x^4+x^3+5x^2+4x+5 (numerador) por x^3+2x^2 (denominador).
Dividindo 5x^5 por x^3 5x^2. Multiplicamos 5x^2 por x^3+2x^2 e subtraímos do numerador:
5x^5 + 10x^4 + x^3 + 5x^2 + 4x + 5 - (5x^5 + 10x^4) = 0 + 0 + x^3 + 5x^2 + 4x + 5

Passo 3

Agora, dividimos x^3 por x^3, que dá 1. Multiplicamos 1 por x^3+2x^2 e subtraímos:
x^3 + 5x^2 + 4x + 5 - (x^3 + 2x^2) = 0 + 3x^2 + 4x + 5
Esse é o resto da divisão. Então, podemos escrever a fração original como:
5x^5+10x^4+x^3+5x^2+4x+5x^3+2x^2 = 5x^2 + 1 + 3x^2 + 4x + 5x^3+2x^2

Passo 4

Agora a integral fica dividida em duas partes:
integral (5x^2 + 1) , dx + integral 3x^2 + 4x + 5x^3+2x^2 , dx
A primeira integral é bem direta. Vamos resolver cada parte.

Passo 5

Integrando 5x^2 + 1:
integral 5x^2 , dx = 53x^3 e integral 1 , dx = x
Então, a primeira parte da integral resulta em:
53x^3 + x

Passo 6

Agora, vamos cuidar da segunda parte: integral 3x^2 + 4x + 5x^3+2x^2 , dx.
Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2)
Então, a fração fica:
3x^2 + 4x + 5x^2(x + 2)
Vamos decompor isso em frações parciais. Assumimos que:
3x^2 + 4x + 5x^2(x + 2) = Ax + Bx^2 + Cx + 2
Multiplicando ambos os lados por x^2(x + 2), obtemos:
3x^2 + 4x + 5 = A x (x + 2) + B (x + 2) + C x^2
Expandindo e agrupando termos:
3x^2 + 4x + 5 = (A + C)x^2 + (2A + B)x + 2B
Comparando os coeficientes, temos:
A + C = 3 2A + B = 4 2B = 5
Resolvendo o sistema:
B = 52
2A + 52 = 4 Rightarrow 2A = 32 Rightarrow A = 34
34 + C = 3 Rightarrow C = 94
Então, a decomposição fica:
3x^2 + 4x + 5x^2(x + 2) = 3/4x + 5/2x^2 + 9/4x + 2

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separado:
integral 3/4x , dx = 34 ln|x|
integral 5/2x^2 , dx = 52 cdot (-1x) = -52x
integral 9/4x + 2 , dx = 94 ln|x + 2|

Resposta

Juntando todas as partes, a integral original é igual a:
53x^3 + x + 34 ln|x| - 52x + 94 ln|x + 2| + C
onde C é a constante de integração.

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