Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função radical e um termo polinomial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar. Vamos ver como aplicamos isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observando
, percebemos que
é uma expressão comum dentro da raiz. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
. No entanto, notamos que ainda temos
na integral, que pode ser reescrita como
. Sabemos que
, então podemos resolver
em termos de
:
Agora, substituímos tudo na integral:
Usando a relação que encontramos para
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:
Substituindo de volta:
Passo 6
Distribuímos o
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta para a expressão original em termos de
. Lembrando que
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: