Calcule as integrais a seguir.
integral raiz9-x^2 x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz9 - x^2 , x^3 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função radical e um termo polinomial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar. Vamos ver como aplicamos isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observando raiz9 - x^2, percebemos que 9 - x^2 é uma expressão comum dentro da raiz. Vamos definir:
u = 9 - x^2
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx:
dudx = -2x
Isso significa que:
du = -2x , dx
-12 du = x , dx

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u. No entanto, notamos que ainda temos x^3 na integral, que pode ser reescrita como x^2 cdot x. Sabemos que u = 9 - x^2, então podemos resolver x^2 em termos de u:
x^2 = 9 - u
Agora, substituímos tudo na integral:
integral raizu cdot (9 - u) cdot x , dx
Usando a relação que encontramos para x , dx:
integral raizu cdot (9 - u) cdot (-12 du)
-12 integral raizu cdot (9 - u) , du

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
raizu cdot (9 - u) = 9raizu - u^3/2
Portanto, a integral se torna:
-12 integral (9raizu - u^3/2) du
-12 ( 9 integral u^1/2 du - integral u^3/2 du )

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:
  1. integral u^1/2 du = u^3/232 = 23 u^3/2
  2. integral u^3/2 du = u^5/252 = 25 u^5/2
Substituindo de volta:
-12 ( 9 cdot 23 u^3/2 - 25 u^5/2 )
-12 ( 6 u^3/2 - 25 u^5/2 )

Passo 6

Distribuímos o -12:
-12 cdot 6 u^3/2 + 12 cdot 25 u^5/2
-3 u^3/2 + 15 u^5/2

Passo 7

Agora, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x. Lembrando que u = 9 - x^2:
-3 (9 - x^2)^3/2 + 15 (9 - x^2)^5/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral raiz9 - x^2 , x^3 , dx é igual a:
-3 (9 - x^2)^3/2 + 15 (9 - x^2)^5/2 + C

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