Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função, além de encontrar as curvas de nível e as interseções com os planos coordenados. Por fim, temos que esboçar o gráfico da função dada:
Vamos precisar entender conceitos básicos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem, curvas de nível e interseções com planos.
Passo 2
Dominio da função
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
Aqui, não temos nenhuma restrição como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Como
Então, o domínio é:
Ou seja, todos os pares
Passo 3
Imagem da função
A imagem (ou contradomínio) é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função
. Vamos analisar:
Como
O valor mínimo de
ocorre quando
tende ao infinito, fazendo com que
tenda a
.
Portanto, a imagem é:
Passo 4
Curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
assume um valor constante
. Vamos definir:
Então:
Resolvendo para
:
Analisando os valores possíveis de
:
- Para que
seja real, precisamos que , ou seja, . - Cada valor de
define duas linhas horizontais paralelas ao eixo (quando é positivo ou negativo).
Portanto, as curvas de nível são linhas horizontais:
válidas para
Passo 5
Interseções com os planos coordenados
Vamos analisar onde a superfície
intercepta os planos coordenados:
-
Interseção com o plano
(onde ):
Então, a interseção é duas linhas horizontais no planopara e . -
Interseção com o plano
(onde ):
Então, a interseção é a linhaem todo o eixo . -
Interseção com o plano
(onde ):
Aqui, a interseção é a parábolano plano .
Passo 6
Esboço do gráfico da função
Para esboçar o gráfico de
, observe que a função não depende de
. Isso significa que para qualquer valor de
, a função tem o mesmo valor para um dado
. Portanto, o gráfico é uma paraboloide circular vertical, aberta para baixo.
- Topo da paraboloide: ocorre quando
, onde . - Simetria: a superfície é simétrica em relação ao eixo
, pois aparece ao quadrado. - Curvas de nível: como visto antes, são linhas horizontais para diferentes valores de
.
Resposta
- Domínio: todos os pares
reais, ou seja, . - Imagem: todos os números reais menores ou iguais a 1, ou seja,
. - Curvas de nível: linhas horizontais
e para cada . - Interseções com os planos coordenados:
- Plano
: linhas e . - Plano
: linha . - Plano
: parábola .
- Plano
- Gráfico: uma paraboloide circular aberta para baixo com topo em
, simétrica em relação ao eixo .