Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=1-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função, além de encontrar as curvas de nível e as interseções com os planos coordenados. Por fim, temos que esboçar o gráfico da função dada:
f(x, y) = 1 - y^2
Vamos precisar entender conceitos básicos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem, curvas de nível e interseções com planos.

Passo 2

Dominio da função
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
f(x, y) = 1 - y^2
Aqui, não temos nenhuma restrição como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Como y^2 está sempre definido para todo número real y, a função está definida para todos os valores de x e y.
Então, o domínio é:
Df = R times R
Ou seja, todos os pares (x, y) no plano.

Passo 3

Imagem da função
A imagem (ou contradomínio) é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função f(x, y). Vamos analisar:
f(x, y) = 1 - y^2
Como y^2 >= 0 para todo y, então:
1 - y^2 <= 1
O valor mínimo de f(x, y) ocorre quando y tende ao infinito, fazendo com que f(x, y) tenda a -infty.
Portanto, a imagem é:
Imf = (-infty, 1]

Passo 4

Curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano xy onde a função f(x, y) assume um valor constante k. Vamos definir:
f(x, y) = k
Então:
1 - y^2 = k
Resolvendo para y:
y^2 = 1 - k
y = pm raiz1 - k
Analisando os valores possíveis de k:
  • Para que raiz1 - k seja real, precisamos que 1 - k >= 0, ou seja, k <= 1.
  • Cada valor de k define duas linhas horizontais paralelas ao eixo x (quando y é positivo ou negativo).
Portanto, as curvas de nível são linhas horizontais:
y = raiz1 - k e y = -raiz1 - k
válidas para k <= 1.

Passo 5

Interseções com os planos coordenados
Vamos analisar onde a superfície f(x, y) = 1 - y^2 intercepta os planos coordenados:
  1. Interseção com o plano xy (onde z = 0):
    0 = 1 - y^2
    y^2 = 1
    y = pm 1
    Então, a interseção é duas linhas horizontais no plano xy para y = 1 e y = -1.
  2. Interseção com o plano xz (onde y = 0):
    f(x, 0) = 1 - 0 = 1
    Então, a interseção é a linha z = 1 em todo o eixo x.
  3. Interseção com o plano yz (onde x = 0):
    f(0, y) = 1 - y^2
    Aqui, a interseção é a parábola z = 1 - y^2 no plano yz.

Passo 6

Esboço do gráfico da função
Para esboçar o gráfico de f(x, y) = 1 - y^2, observe que a função não depende de x. Isso significa que para qualquer valor de x, a função tem o mesmo valor para um dado y. Portanto, o gráfico é uma paraboloide circular vertical, aberta para baixo.
  • Topo da paraboloide: ocorre quando y = 0, onde f(x, 0) = 1.
  • Simetria: a superfície é simétrica em relação ao eixo x, pois y aparece ao quadrado.
  • Curvas de nível: como visto antes, são linhas horizontais para diferentes valores de k <= 1.

Resposta

  • Domínio: todos os pares (x, y) reais, ou seja, Df = R times R.
  • Imagem: todos os números reais menores ou iguais a 1, ou seja, Imf = (-infty, 1].
  • Curvas de nível: linhas horizontais y = raiz1 - k e y = -raiz1 - k para cada k <= 1.
  • Interseções com os planos coordenados:
    • Plano xy: linhas y = 1 e y = -1.
    • Plano xz: linha z = 1.
    • Plano yz: parábola z = 1 - y^2.
  • Gráfico: uma paraboloide circular aberta para baixo com topo em z = 1, simétrica em relação ao eixo x.

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