Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O enunciado pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função, as curvas de nível, a interseção com os planos coordenados e esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e imagem, curvas de nível, e interseção com planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
que podemos colocar na função sem problemas, ou seja, onde a função está bem definida.
Passo 3
Nossa função é $ f(x, y) = 3 $. Olhando para ela, não há nenhuma operação que possa causar problemas, como divisão por zero ou raízes de números negativos. Isso significa que podemos escolher qualquer valor real para $ x $ e $ y $.
Passo 4
Então, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para $ x $ e $ y $. Em notação matemática, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir.
Passo 6
Na nossa função, $ f(x, y) = 3 $ sempre retorna o valor 3, não importa quais sejam $ x $ e $ y $. Isso significa que a única imagem possível é o número 3.
Passo 7
Portanto, a imagem da função é simplesmente:
Passo 8
Seguimos para as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante.
Passo 9
Como a nossa função sempre vale 3, a única curva de nível é onde $ f(x, y) = 3 $. Isso nos dá a equação:
Passo 10
Essa equação é verdadeira para todos os pontos
no plano. Ou seja, toda a planta $ xy $ é a curva de nível.
Passo 11
Agora, vamos ver as interseções com os planos coordenados. Isso significa determinar onde o gráfico da função corta os planos $ xy $, $ xz $ e $ yz $.
Passo 12
- Interseção com o plano $ xy $: Aqui, $ z = 0 $. Então, substituímos na função:
Isso não tem solução, ou seja, não há interseção com o plano $ xy $.
- Interseção com o plano $ xz $: Aqui, $ y = 0 $. Substituindo na função:
Isso significa que para qualquer $ x $, $ z = 3 $. Portanto, a interseção é a reta $ z = 3 $ no plano $ xz $.
- Interseção com o plano $ yz $: Aqui, $ x = 0 $. Substituindo na função:
Isso significa que para qualquer $ y $, $ z = 3 $. Portanto, a interseção é a reta $ z = 3 $ no plano $ yz $.
Passo 13
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 3 $. Essa função representa um plano horizontal no espaço tridimensional, onde $ z = 3 $. É como uma folha plana paralela ao plano $ xy $, atravessando a altura $ z = 3 $.
Resposta
- Domínio: $ \mathbb{R} \times \mathbb{R} $
- Imagem: $ {3} $
- Curvas de nível: Toda a planta $ xy $ com $ f(x, y) = 3 $
- Interseções com planos coordenados:
- Sem interseção com o plano $ xy $
- Reta $ z = 3 $ no plano $ xz $
- Reta $ z = 3 $ no plano $ yz $
- Gráfico: Um plano horizontal no espaço tridimensional onde $ z = 3 $