Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O enunciado pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função, as curvas de nível, a interseção com os planos coordenados e esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e imagem, curvas de nível, e interseção com planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) que podemos colocar na função sem problemas, ou seja, onde a função está bem definida.

Passo 3

Nossa função é $ f(x, y) = 3 $. Olhando para ela, não há nenhuma operação que possa causar problemas, como divisão por zero ou raízes de números negativos. Isso significa que podemos escolher qualquer valor real para $ x $ e $ y $.

Passo 4

Então, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para $ x $ e $ y $. Em notação matemática, podemos escrever:
x í

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir.

Passo 6

Na nossa função, $ f(x, y) = 3 $ sempre retorna o valor 3, não importa quais sejam $ x $ e $ y $. Isso significa que a única imagem possível é o número 3.

Passo 7

Portanto, a imagem da função é simplesmente:
Ima>=m = 3

Passo 8

Seguimos para as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante.

Passo 9

Como a nossa função sempre vale 3, a única curva de nível é onde $ f(x, y) = 3 $. Isso nos dá a equação:
f(x, y) = 3

Passo 10

Essa equação é verdadeira para todos os pontos (x, y) no plano. Ou seja, toda a planta $ xy $ é a curva de nível.

Passo 11

Agora, vamos ver as interseções com os planos coordenados. Isso significa determinar onde o gráfico da função corta os planos $ xy $, $ xz $ e $ yz $.

Passo 12

  • Interseção com o plano $ xy $: Aqui, $ z = 0 $. Então, substituímos na função:
xy
Isso não tem solução, ou seja, não há interseção com o plano $ xy $.
  • Interseção com o plano $ xz $: Aqui, $ y = 0 $. Substituindo na função:
z = 0
Isso significa que para qualquer $ x $, $ z = 3 $. Portanto, a interseção é a reta $ z = 3 $ no plano $ xz $.
  • Interseção com o plano $ yz $: Aqui, $ x = 0 $. Substituindo na função:
0 = 3
Isso significa que para qualquer $ y $, $ z = 3 $. Portanto, a interseção é a reta $ z = 3 $ no plano $ yz $.

Passo 13

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 3 $. Essa função representa um plano horizontal no espaço tridimensional, onde $ z = 3 $. É como uma folha plana paralela ao plano $ xy $, atravessando a altura $ z = 3 $.

Resposta

  • Domínio: $ \mathbb{R} \times \mathbb{R} $
  • Imagem: $ {3} $
  • Curvas de nível: Toda a planta $ xy $ com $ f(x, y) = 3 $
  • Interseções com planos coordenados:
    • Sem interseção com o plano $ xy $
    • Reta $ z = 3 $ no plano $ xz $
    • Reta $ z = 3 $ no plano $ yz $
  • Gráfico: Um plano horizontal no espaço tridimensional onde $ z = 3 $

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