Calcule as integrais a seguir.
integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta

Passo 1

A integral dada é integral costheta,cos^5(sintheta),dtheta. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos sintheta dentro de uma função e o fator costheta fora.

Passo 2

Fazemos a primeira substituição definindo u=sintheta. Então du=costheta,dtheta. Com isso a integral vira
integral cos^5(sintheta)costheta,dtheta = integral cos^5(u),du

Passo 3

Para integrar integralcos^5(u),du, usamos a identidade cos^5(u)=cos(u),(1-sin^2(u))^2. Assim
integral cos^5(u),du = integral (1-sin^2(u))^2cos(u),du
Fazemos outra substituição: v=sin(u), logo dv=cos(u),du. A integral passa a ser
integral (1-v^2)^2,dv

Passo 4

Expandindo o quadrado temos
(1-v^2)^2 = 1 - 2v^2 + v^4
Logo
integral(1-v^2)^2,dv = integral(1 - 2v^2 + v^4),dv = v - 23v^3 + 15v^5 + C

Passo 5

Agora voltamos às variáveis originais: v=sin(u) e u=sintheta. Assim
v - 23v^3 + 15v^5 + C = sin(sintheta) - 23sin^3(sintheta) + 15sin^5(sintheta) + C

Resposta

sin(sintheta) - 23sin^3(sintheta) + 15sin^5(sintheta) + C

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