Determinar o volume do sólido interior as superfícies b^2(x^2+y^2)+a^2 z^2=a^2 b^2 e x^2+y^2=a x.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pela elipsoide b{2}(x{2}+y^{2}) + a{2}z{2} = a{2}b{2} e pelo cilindro x{2}+y{2} = a x. O conteúdo principal é cálculo de volume por integração tripla, usando transformação linear para simpificar a elipsoide e coordenadas polares no plano.

Passo 2

Para converter a elipsoide numa esfera unitária, fazemos a mudança de variáveis x’ = x/a, y’ = y/a, z’ = z/b. Nesta transformação, a elipsoide vira x’{2}+y’{2}+z’^{2}=1 e a Jacobiana vale det J = a^{2}b. Assim o volume original satisfaz V = a^{2}b , V’, onde V’ é o volume da região transformada.

Passo 3

A região V’ é a interseção da bola unitária x’{2}+y’{2}+z’^{2} \le 1 com o cilindro x’{2}+y’{2} \le x’. Em coordenadas polares (r’,\theta’) no plano x’y’ definimos x’ = r’\cos\theta’, y’ = r’\sin\theta’. O cilindro fica r’ = \cos\theta’, com \theta’ \in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Para cada (r’,\theta’), z’ varia de -\sqrt{1 - r’^{2}} a +\sqrt{1 - r’^{2}}.

Passo 4

Escrevemos a integral tripla em r’,\theta’,z’:
V' = integraltheta'=-pi2^pi2 integralr'=0^costheta' integralz'=-raiz1-r'^2^raiz1-r'^2 r' , dz' , dr' , dtheta'
Integrando em z’ primeiro dá um fator 2\sqrt{1 - r’^{2}}, portanto
V' = 2 integral-pi2^pi2 integral0^costheta' r' raiz1 - r'^2 , dr' , dtheta'

Passo 5

Definimos a integral interna J(\theta’) = \int_{0}^{\cos\theta’} r’ \sqrt{1 - r’^{2}} , dr’. Fazendo u = 1 - r’^{2}, du = -2r’,dr’, obtemos
J(theta') = 12 integralu=1^u=sin^2theta' raizu , du = 13l[1 - (sin^2theta')^3/2r] = 13l[1 - |sintheta'|^3r]

Passo 6

Substituindo em V’ e usando simetria de |\sin\theta’| sobre [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], temos
V' = 2 integral-pi2^pi2 J(theta') , dtheta' = 23integral-pi2^pi2l[1 - |sintheta'|^3r] dtheta'
Calculamos separadamente
integral-pi2^pi21,dtheta' = pi, integral-pi2^pi2|sintheta'|^3 dtheta' = 2integral0^pi2sin^3theta,dtheta = 2cdot23 = 43
Logo
V' = 23l(pi - tfrac43r) = 6pi - 89

Passo 7

Retornando ao volume original com o fator Jacobiano, obtemos
V = a^2 b , V' = a^2bcdot6pi - 89

Resposta

O volume do sólido é V = a^2 b,(6pi - 8)9

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