Determinar o volume do sólido interior as superfícies
e
.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido limitado pela elipsoide b{2}(x{2}+y^{2}) + a{2}z{2} = a{2}b{2} e pelo cilindro x{2}+y{2} = a x. O conteúdo principal é cálculo de volume por integração tripla, usando transformação linear para simpificar a elipsoide e coordenadas polares no plano.
Passo 2
Para converter a elipsoide numa esfera unitária, fazemos a mudança de variáveis x’ = x/a, y’ = y/a, z’ = z/b. Nesta transformação, a elipsoide vira x’{2}+y’{2}+z’^{2}=1 e a Jacobiana vale det J = a^{2}b. Assim o volume original satisfaz V = a^{2}b , V’, onde V’ é o volume da região transformada.
Passo 3
A região V’ é a interseção da bola unitária x’{2}+y’{2}+z’^{2} \le 1 com o cilindro x’{2}+y’{2} \le x’. Em coordenadas polares (r’,\theta’) no plano x’y’ definimos x’ = r’\cos\theta’, y’ = r’\sin\theta’. O cilindro fica r’ = \cos\theta’, com \theta’ \in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Para cada (r’,\theta’), z’ varia de -\sqrt{1 - r’^{2}} a +\sqrt{1 - r’^{2}}.
Passo 4
Escrevemos a integral tripla em r’,\theta’,z’:
Integrando em z’ primeiro dá um fator 2\sqrt{1 - r’^{2}}, portanto
Passo 5
Definimos a integral interna J(\theta’) = \int_{0}^{\cos\theta’} r’ \sqrt{1 - r’^{2}} , dr’. Fazendo u = 1 - r’^{2}, du = -2r’,dr’, obtemos
Passo 6
Substituindo em V’ e usando simetria de |\sin\theta’| sobre [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], temos
Calculamos separadamente
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Passo 7
Retornando ao volume original com o fator Jacobiano, obtemos
Resposta
O volume do sólido é