Sendo
, determine o domínio e o gráfico da função;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, onde analisamos quais valores de
e
a função está definida (domínio) e como ela se comporta no espaço tridimensional (gráfico). Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como representar graficamente funções como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Sabemos que
, então a função fica:
Agora, queremos descobrir para quais valores de
e
essa função está definida. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
que fazem a função ter um resultado real, ou seja, onde a função não dá undefined ou resultados imaginários.
Passo 3
Olha só, na nossa função
, não temos nenhum radical (raiz quadrada com expressão dentro que depende de
ou
) ou divisão por zero que possa causar restrições. A função está definida para todos os valores reais de
e
, porque não há nenhuma limitação que impeça a função de calcular um valor para qualquer par
.
Passo 4
Então, o domínio da função
é:
Isso significa que qualquer valor real de
e
é válido para essa função.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o gráfico dessa função. A equação
representa uma superfície parabólica no espaço tridimensional. Mais especificamente, é uma paraboloide que está voltada para baixo.
Para visualizar melhor:
- Quando
e , temos . Esse é o ponto mais alto (vértice) do paraboloide. - Conforme
e se afastam de zero, diminui porque estamos subtraindo e . - Não há limites para
e , então o paraboloide se estende indefinidamente em todas as direções a partir do vértice.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais para
e
, ou seja,
. O gráfico da função
é uma paraboloide voltada para baixo com seu vértice no ponto
.