Sendo z=raiz4-x^2-y^2, determine o domínio e o gráfico da função;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, onde analisamos quais valores de e a função está definida (domínio) e como ela se comporta no espaço tridimensional (gráfico). Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como representar graficamente funções como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Sabemos que z = 2 - x^2 - y^2 , então a função fica:
Agora, queremos descobrir para quais valores de e essa função está definida. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares que fazem a função ter um resultado real, ou seja, onde a função não dá undefined ou resultados imaginários.

Passo 3

Olha só, na nossa função , não temos nenhum radical (raiz quadrada com expressão dentro que depende de ou ) ou divisão por zero que possa causar restrições. A função está definida para todos os valores reais de e , porque não há nenhuma limitação que impeça a função de calcular um valor para qualquer par .

Passo 4

Então, o domínio da função Domínio = (x, y) in R^2 é:
í
Isso significa que qualquer valor real de e é válido para essa função.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o gráfico dessa função. A equação representa uma superfície parabólica no espaço tridimensional. Mais especificamente, é uma paraboloide que está voltada para baixo.
Para visualizar melhor:
  • Quando e , temos . Esse é o ponto mais alto (vértice) do paraboloide.
  • Conforme e se afastam de zero, diminui porque estamos subtraindo e .
  • Não há limites para e , então o paraboloide se estende indefinidamente em todas as direções a partir do vértice.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais para e , ou seja, . O gráfico da função é uma paraboloide voltada para baixo com seu vértice no ponto .

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