Calcule as integrais a seguir.
integral sen^6(pi t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^6(pi t),dt. O conteúdo principal aqui é a técnica de redução de potência para senos, onde vamos usar identidades trigonométricas para reescrever sin^6 em somas de cossenos de múltiplos do ângulo, facilitando a integração.

Passo 2

Para reduzir a potência, aplicamos a identidade de redução de potência em bloco ao ângulo x=pi t:
sin^6 x=132l(10-15cos(2x)+6cos(4x)-cos(6x)r)
Substituindo x=pi t temos:
sin^6(pi t)=1032-1532cos(2pi t)+632cos(4pi t)-132cos(6pi t)

Passo 3

Agora substituímos na integral e integramos termo a termo:
integral sin^6(pi t),dt=integrall(1032-1532cos(2pi t)+632cos(4pi t)-132cos(6pi t)r)dt
Integrando cada parcela:
  • integral 1032,dt=1032t
  • integral -1532cos(2pi t),dt=-1532cdot12pisin(2pi t)
  • integral 632cos(4pi t),dt=632cdot14pisin(4pi t)
  • integral -132cos(6pi t),dt=-132cdot16pisin(6pi t)

Passo 4

Simplificando as constantes, obtemos a antiderivada final:
516,t-1564pisin(2pi t)+364pisin(4pi t)-1192pisin(6pi t)+C

Resposta

integral sin^6(pi t),dt=516,t-1564pisin(2pi t)+364pisin(4pi t)-1192pisin(6pi t)+C

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