Calcule as integrais a seguir.
integral cos ^2 x sen(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^2 x ,sin(2x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnica de substituição.

Passo 2

Usamos a identidade sin(2x)=2sin xcos x para reescrever o integrando. Substituindo, temos:
cos^2 x,sin(2x)=2cos^2 x,(sin xcos x)=2cos^3 xsin x

Passo 3

Fazemos a substituição u=cos x, então du=-sin x,dx e sin x,dx=-du. Em termos de u, a integral fica:
integral 2cos^3 xsin x,dx=2integral u^3(-du)=-2integral u^3,du

Passo 4

Integramos:
-2integral u^3,du=-2cdotu^44+C=-u^42+C
Voltando à variável x, com u=cos x, a primitiva é -tfraccos^4 x2+C.

Resposta

-cos^4 x2+C

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