Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela ex pressão
V=integral0^4 integral0^raiz4-z integral0^8-2 z d y d x d z
A seguir, reescreva esta expressão, como uma integral tripla equivalente, usando coordenadas cartesianas de cinco formas distintas.

Passo 1

Vamos interpretar o enunciado: temos uma integral tripla que calcula o volume de um sólido S. O conteúdo principal é representação geométrica de regiões em 3D e mudança de ordem de integração em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Analisando os limites originais, vemos que S é dado por
0<= z<=4,0<= x<=raiz4-z,0<= y<=8-2z
Geometricamente, S está no primeiro octante, limitado pelos planos z=0, y=0, pela parábola z=4−x² e pelo plano inclinado y+2z=8.

Passo 3

Para reescrever a integral em outras ordens sem divisão de casos, aproveitamos que:
  • y pode ser variável interna com limite y∈[0,8−2z] (linear em z).
  • x pode ficar externa (limite em x não depende de y).
  • z pode ficar externa (limite em z não depende de y quando x é externa) ou interna (limite em z depende apenas de x ou apenas de y).

Passo 4

A seguir listamos cinco formas distintas, todas equivalentes, de escrever V como integral tripla em coordenadas cartesianas:

Resposta

V= integral0^4 integral0^raiz4-z integral0^8-2zdy,dx,dz
V= integral0^4 integral0^8-2z integral0^raiz4-zdx,dy,dz
V= integral0^2 integral0^4-x^2 integral0^8-2zdy,dz,dx
V= integral0^8 integral0^tfrac8-y2 integral0^raiz4-zdx,dz,dy
V= integral0^2 integral0^8 integral0^min4-x^2,,(8-y)/2dz,dy,dx

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