Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela ex pressão
A seguir, reescreva esta expressão, como uma integral tripla equivalente, usando coordenadas cartesianas de cinco formas distintas.
Passo 1
Vamos interpretar o enunciado: temos uma integral tripla que calcula o volume de um sólido S. O conteúdo principal é representação geométrica de regiões em 3D e mudança de ordem de integração em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Analisando os limites originais, vemos que S é dado por
Geometricamente, S está no primeiro octante, limitado pelos planos z=0, y=0, pela parábola z=4−x² e pelo plano inclinado y+2z=8.
Passo 3
Para reescrever a integral em outras ordens sem divisão de casos, aproveitamos que:
- y pode ser variável interna com limite y∈[0,8−2z] (linear em z).
- x pode ficar externa (limite em x não depende de y).
- z pode ficar externa (limite em z não depende de y quando x é externa) ou interna (limite em z depende apenas de x ou apenas de y).
Passo 4
A seguir listamos cinco formas distintas, todas equivalentes, de escrever V como integral tripla em coordenadas cartesianas: