Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela ex pressão
e a seguir reescreva esta expressão utilizando uma única integral tripla em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá duas integrais iteradas que somam o volume de um sólido limitado pelas superfícies z=4−x² e z=6−y, pelo plano z=0 e pelas “paredes” x=0, x=2, y=0 e y=6. Nosso objetivo é descrever esse mesmo sólido de forma geométrica e depois reescrever o volume como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas.
Passo 2
As duas integrais estão separadas porque, na projeção no plano xy, a curva de interseção das superfícies z=4−x² e z=6−y é dada por y=2+x². Para y≤2+x², temos 4−x²≤6−y, de modo que z varia de 0 até 4−x²; para y≥2+x², 6−y≤4−x², de modo que z varia de 0 até 6−y.
Passo 3
Geometricamente o sólido E é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que
Ou seja, é a região sob ambas as superfícies z=4−x² e z=6−y e acima do plano z=0, dentro de 0≤x≤2 e 0≤y≤6.
Passo 4
Para montar uma única integral tripla, escolhemos uma ordem de integração que dispense a partição y=2+x². Por exemplo, fixamos x em [0,2]. Para cada x, z varia de 0 até 4−x² (pois para z>4−x² a condição z≤4−x² já falha). E para cada (x,z) dentro desse intervalo, y varia de 0 até 6−z (pois z≤6−y ⇒ y≤6−z). Então o volume V pode ser escrito como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas: