Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela ex pressão
V=integral0^2 integral0^2+x^2 integral0^4-x^2 d z d y d x+integral0^2 integral2+x^2^6 integral0^6-y d z d y d x
e a seguir reescreva esta expressão utilizando uma única integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá duas integrais iteradas que somam o volume de um sólido limitado pelas superfícies z=4−x² e z=6−y, pelo plano z=0 e pelas “paredes” x=0, x=2, y=0 e y=6. Nosso objetivo é descrever esse mesmo sólido de forma geométrica e depois reescrever o volume como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

As duas integrais estão separadas porque, na projeção no plano xy, a curva de interseção das superfícies z=4−x² e z=6−y é dada por y=2+x². Para y≤2+x², temos 4−x²≤6−y, de modo que z varia de 0 até 4−x²; para y≥2+x², 6−y≤4−x², de modo que z varia de 0 até 6−y.

Passo 3

Geometricamente o sólido E é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que
0<= x<=2,0<= y<=6,0<= z, z<=4-x^2, z<=6-y
Ou seja, é a região sob ambas as superfícies z=4−x² e z=6−y e acima do plano z=0, dentro de 0≤x≤2 e 0≤y≤6.

Passo 4

Para montar uma única integral tripla, escolhemos uma ordem de integração que dispense a partição y=2+x². Por exemplo, fixamos x em [0,2]. Para cada x, z varia de 0 até 4−x² (pois para z>4−x² a condição z≤4−x² já falha). E para cada (x,z) dentro desse intervalo, y varia de 0 até 6−z (pois z≤6−y ⇒ y≤6−z). Então o volume V pode ser escrito como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas:
V=integralx=0^2integralz=0^4-x^2integraly=0^6-zdy,dz,dx

Resposta

V=integral0^2integral0^4-x^2integral0^6-zdy,dz,dx

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