Reescreva a expressão
como uma única integral tripla, em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a soma de duas integrais triplas como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas. O conteúdo envolvido é descrição de região de integração no plano xy e montagem dos limites para a integral de volume em x, y e z.
Passo 2
Para x em [-1,0], y varia de 0 a x+1; para x em [0,1], y varia de 0 a 1−x. Procedendo geometricamente, projetamos essas duas regiões no plano xy e vemos que formam juntas um triângulo de vértices (−1,0), (0,1) e (1,0).
Esse triângulo pode ser descrito de forma unificada como R = { (x,y) ∈ ℝ² : −1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 − |x| }. Para cada (x,y) em R, z varia de 0 até 8 − x² − y².
Esse triângulo pode ser descrito de forma unificada como R = { (x,y) ∈ ℝ² : −1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 − |x| }. Para cada (x,y) em R, z varia de 0 até 8 − x² − y².
Passo 3
Portanto, basta usar esses limites comuns na integral tripla com integrando y. A integral única fica: