Determine o domínio da função abaixo. Esboce a região encontrada.
f(x, y)=e^xy

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para determinar o domínio da função $ f(x, y) = e^{\frac{x}{y}} $ e desenhar a região que representa esse domínio. Então, vamos precisar entender o que é domínio de uma função de duas variáveis e identificar para quais valores de $ x $ e $ y $ essa função tá bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, $ x $ e $ y $) para os quais a função dá um resultado válido. Olhando para $ f(x, y) = e^{\frac{x}{y}} $, vemos que temos uma divisão dentro do expoente: $ \frac{x}{y} $. Precisamos garantir que essa divisão seja válida.

Passo 3

A divisão $ \frac{x}{y} $ só é válida quando o denominador $ y $ é diferente de zero, porque divisão por zero não está definida. Então, já temos uma condição: $ y \neq 0 $.

Passo 4

Além disso, a função exponencial $ e^{z} $ está definida para todo número real $ z $. Isso significa que, desde que $ \frac{x}{y} $ seja um número real, a função $ e^{\frac{x}{y}} $ estará bem definida. Como $ \frac{x}{y} $ será real sempre que $ y \neq 0 $, não temos outras restrições além dessa.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = e^{\frac{x}{y}} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ em $ \mathbb{R}^2 $ onde $ y \neq 0 $. Ou seja,
f(x, y) = e^xy

Exercícios relacionados