Calcule as integrais a seguir.
integral sec ^2(2 x) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral sec^2(2x),dx. O conteúdo envolvido é integração de função trigonométrica usando substituição, e precisamos lembrar que ddx(tan x)=sec^2 x.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a substituição u=2x. Então du=2,dx, o que implica dx=du2.
Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos:
integral sec^2(2x),dx = integral sec^2(u)cdotdu2 = 12 integral sec^2(u),du

Passo 3

Agora usamos que integral sec^2(u),du = tan(u) + C. Logo,
12 integral sec^2(u),du = 12tan(u) + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u=2x, resultando em 12tan(2x)+C.

Resposta

12tan(2x)+C

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